[CH12上]电子动力学的半经典模型

2023-03-08 20:29 作者:啊呜西呜安 0人读过 | 我要投稿

CH8布洛赫电子理论把CH2Sommerfeld理论中的自由电子扩展到了非零的周期性势场，表1中我们比较了这两种理论的主要观点。

为了讨论输运问题，我们把Sommerfeld理论扩展到非平衡的情况。粒子的动量为

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Br%7D%7D%26%3D%5Cfrac%7B%5Chbar%20%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%7Bm%7D%2C%5C%5C%0A%5Chbar%20%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%26%3D%20-e%20(%5Ctextbf%7BE%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%7D%5Ctextbf%7Bv%7D%5Ctimes%5Ctextbf%7BH%7D)%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.1%7D$

如果需要从量子力学的角度来描述自由电子的行为，则可以通过自由电子波包的行为来描述。这种方法是对处于周期势场中的电子的一种简化。和自由电子一样，在讨论布洛赫电子导电的时候同样出现了两个问题：(a)碰撞的本质是什么？(b)布洛赫电子如何在碰撞之间移动？Drude模型假设电子与固定的离子实发生碰撞，但是这个假设不能解释为什么电子存在相当长的自由程，也不能解释对温度的依赖性。布洛赫的理论也没有对此进行很好的解释。在布洛赫理论中，电子的速度定义为 $%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Ctextbf%7Bv%7D_n(%5Ctextbf%7Bk%7D)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E_n(%5Ctextbf%7Bk%7D)%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.2%7D$

这里不再进行推导。从公式中可以看出速度永远不会衰减，这将导致完美晶体的电阻为0。事实上，晶体中离子实在其平衡位置作热振动，电子总会受到散射。并且，不存在完美的晶体，晶体中总会有一些缺陷对其传输造成阻碍。

布洛赫理论让我们放弃电子-离子散射的猜想。我们将继续从某种散射机制中提取后续的结果，不再考虑它的详细特征。所以，我们面临的主要问题是如何描述布洛赫电子在碰撞过程中的运动。这里我们考虑一个确定的布洛赫能级的波包，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cpsi_n(%5Ctextbf%7Br%7D%2Ct)%3D%5Csum_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime%7Dg(%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime)%5Cpsi_%7Bn%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime%7D(%5Ctextbf%7Br%7D)%7B%5Crm%20exp%7D%5B-%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7DE_n(%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime)t%5D%2C%20g(%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime)%5Capprox%200%2C%7C%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime-%5Ctextbf%7Bk%7D%7C%3E%5CDelta%20%5Ctextbf%7Bk%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.3%7D$

令传递的波矢 $%5CDelta%20%5Ctextbf%7Bk%7D$ 小于布里渊区的长度，目的是让能量 $E_n(%5Ctextbf%7Bk%7D)$ 变化的很小，得到较为稳定的波包。对于公式(12.2)中的速度可以视为波包的群速度。当我们不需要在波包扩散的尺度上区分电子位置时，半经典模型用波包来描述。

当波矢和布里渊区的尺寸比起来很小的时候，让我们估计一下波包的宽度。令 $%5Ctextbf%7Br%7D%3D%5Ctextbf%7Br%7D_0%2B%5Ctextbf%7BR%7D$ ，对公式(12.3)使用布洛赫定理得，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cpsi_n(%5Ctextbf%7Br%7D_0%2B%5Ctextbf%7BR%7D%2Ct)%3D%5Csum_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime%7D%5Bg(%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime)%5Cpsi_%7Bn%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime%7D(%5Ctextbf%7Br%7D_0)%5D%7B%5Crm%20exp%7D%5Bi(%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime%5Ccdot%20%5Ctextbf%7BR%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%7DE_n(%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime)t)%5D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.4%7D$

对于固定的 $%5Ctextbf%7Br%7D_0$ ，公式(12.4)为 $%5Ctextbf%7BR%7D$ 的函数，并且为平面波的叠加态。所以，如果 $%5CDelta%20k$ 在一定波矢范围内是可观测的，则说明这个波包对应的平面波的构成成分比较多，所以在这个波矢范围内的空间中，所以实空间中的波包尺寸应该为 $%5CDelta%20R%3D1%2F%5CDelta%20k$ ，这里和测不准原理有关。并且由于 $%5CDelta%20k$ 在倒空间的尺度很小，所以 $%5CDelta%20R$ 和晶格常数a比起来一定非常大。所以我们得到结论：在倒空间尺度上定义的布洛赫波包扩展到实空间一定包含很多个原胞。

半经典模型

半经典模型基于给定的能带结构，而不关心如何计算能带结构。模型通过外场对能带结构的变化来推测输运性质，或者反过来通过外场对输运性质的变化来推测能带结构。每个电子具有确定的位置 $%5Ctextbf%7Br%7D$ 和确定的波矢 $%5Ctextbf%7Bk%7D$ 和能带指标n。对于外部存在的电场以及磁场，位置、波矢和能带指标遵从如下规则：

能带指标是运动常数，电子总是呆在同一个能带中，忽略带间跃迁的可能性。
电子的速度和波矢满足 $%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Br%7D%7D%26%3D%5Ctextbf%7Bv%7D_n(%5Ctextbf%7Bk%7D)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E_n(%5Ctextbf%7Bk%7D)%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%5C%5C%0A%5Chbar%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%26%3D-e%5B%5Ctextbf%7BE%7D(%5Ctextbf%7Br%7D%2Ct)%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%7D%5Ctextbf%7Bv%7D_n(%5Ctextbf%7Bk%7D)%5Ctimes%5Ctextbf%7BH%7D(%5Ctextbf%7Br%7D%2Ct)%5D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.5%7D$
这里电子的波矢只定义在倒格矢 $%5Ctextbf%7BK%7D$ 内。不能存在两个电子具有相同的能带指标n和位置 $%5Ctextbf%7Br%7D$ ,波矢 $%5Ctextbf%7Bk%7D%2C%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime$ 仅相差倒格矢 $%5Ctextbf%7BK%7D$ 。也就是说在半经典模型中波矢 $%5Ctextbf%7Bk%7D$ 和 $%5Ctextbf%7Bk%7D%2B%5Ctextbf%7BK%7D$ 的描述是等价的。

半经典模型的一些说明以及局限性

多载流子理论

由于施加的外场被认为不会导致带内跃迁，我们可以认为一条带包含具有固定数量的电子。靠近平衡位置，所有高于费米能级的带不会被占据，所以我们不需要考虑无穷多个载流子，只需要考虑比费米能级低几个 $k_BT$ 的带就可以。也就是说我们只需要考虑很少一部分能带就可以。

晶体动量不是真实的动量

从公式(12.5)可以看出每个带内运动方程和自由电子运动方程公式(12.1)相同，不过只是没有出现自由电子能量 $%5Chbar%5E2%20k%5E2%2F2m$ 。不过，晶体动量 $%5Chbar%5Ctextbf%7Bk%7D$ 并不是布洛赫电子的动量，布洛赫波也不是动量的本征函数，这里CH8也强调过。电子动量的变化率由作用在电子上的所有力给出，但是晶体动量的变化率仅由公式(12.5)给出，其中力仅由外场施加，而不是由晶格的周期性势场施加。

有效性限制

在周期性势场为0的极限下，半经典模型必然失败，因为在这个极限下电子将为自由电子。在均匀电场中，自由电子可以通过静电势能不断提升它的动能。然而，半经典模型禁止带内跃迁，所以电子的能量需要小于某个数值。因此，周期势必须存在某个最小强度。这样的限制并不容易推导，但是存在一个简单的形式，在这里我们不再证明而直接给出。对k空间中一个给定的点，只有当第n条带所处的电磁场缓慢变换的振幅满足

$%5Cbegin%7Balign%7D%0AeEa%20%26%5Cll%20%5Cfrac%7B%5BE_%7Bgap%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%5D%5E2%7D%7BE_F%7D%2C%5C%5C%0A%5Chbar%5Comega_c%26%5Cll%5Cfrac%7B%5BE_%7Bgap%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%5D%5E2%7D%7BE_F%7D%20%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.6%7D$

时，电子的半经典方程才有效。公式(12.6)中，a为晶格常数， $E_%7Bgap%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)$ 为k空间中相同的点但是不同能带的最近的能量差， $%5Comega_c$ 为角回旋频率(见CH1)。对于金属来说，公式(12.6上)从来没有被违反过。对与绝缘体或者各向同性的半导体，体内有可能建立内建电场，导致带间隧穿，这种现象称为点击穿或者齐纳击穿。外加磁场同样可能导致带间的隧穿，称为磁击穿。

运动方程的基础

当存在静电场的时候，如果电场满足 $%5Ctextbf%7BE%7D%3D-%5Cnabla%20%5Cphi$ ，能量被改写为 $%5Ctextbf%7BE%7D_n(%5Ctextbf%7Bk%7D(t))-e%5Cphi(%5Ctextbf%7Br%7D(t))$ ，并且应为常数。能量随时间的导数为

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E_n%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%5Ccdot%20%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D-e%5Cnabla%5Cphi%5Ccdot%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Br%7D%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.7%7D$

根据公式(12.5上)，公式(12.7)可以写为

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Ctextbf%7Bv%7D_n(%5Ctextbf%7Bk%7D)%5Ccdot%20%5B%5Chbar%20%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D-e%5Cnabla%20%5Cphi%5D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.8%7D$

公式(12.8)满足以下条件时为零，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Chbar%20%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%3De%5Cnabla%5Cphi%3D-e%5Ctextbf%7BE%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.9%7D$

这里回归到公式(12.5下)磁场为零的情况。然而，公式(12.9)不是公式(12.8)收敛的必要条件，因为公式(12.8)中速度可以为零。

满带不导电

满带是指所有该能带所有能量都在费米能级以下(更普遍的说是远低于化学势)。k空间中，电子在满带 $d%5Ctextbf%7Bk%7D$ 区域贡献了 $d%5Ctextbf%7Bk%7D%2F4%5Cpi%5E3$ 个态(这里用到了求和化积分，并且考虑了自旋)。所以，电子在 $d%5Ctextbf%7Br%7D$ 区域将会存在 $d%5Ctextbf%7Br%7Dd%5Ctextbf%7Bk%7D%2F4%5Cpi%5E3$ 个态。因此，我们可以在这样一个6维空间表示电子的态密度，这个空间也称为rk空间(相空间)。

半经典公式(12.5)表明无论电磁场和时间怎么改变，满带一直是满带。因为满带k态和-k态的电子对电流的贡献可以恰好抵消。这也是半经典下刘维尔定理的结论：

在给定六维相空间的任意区域 $%5COmega_t$ ，考虑点 $%5Ctextbf%7Br%7D%5E%5Cprime%2C%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime$ ，其中 $%5COmega_t$ 中每个点 $%5Ctextbf%7Br%7D%2C%5Ctextbf%7Bk%7D$ 由时间 $t%5Cto%20t%5E%5Cprime$ 之间的半经典运动方程所取。这样所有点 $%5Ctextbf%7Br%7D%5E%5Cprime%2C%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime$ 的集合构成了一个新的区域 $%5COmega_%7Bt%5E%5Cprime%7D$ ，它的体积与 $%5COmega_t$ 相同。

空穴

半经典模型的成就之一就是它解释了自由电子理论只有在载流子带正电荷时才能解释的现象，例如某些金属中霍尔系数符号异常。在理解能带中的电子如何以带正电的方式对电流做出贡献时，有三个要点需要把握：

由于在体积元 $d%5Ctextbf%7Bk%7D$ 的电子对电流密度做出对贡献是 $-e%5Ctextbf%7Bv%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)d%5Ctextbf%7Bk%7D%2F4%5Cpi%5E3$ ，所以某一给定能带内所有电子对电流密度的贡献为 $%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Ctextbf%7Bj%7D%3D-e%5Cint_%7Boccupied%7D%5Cfrac%7Bd%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%7B4%5Cpi%5E3%7D%5Ctextbf%7Bv%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.10%7D$ 这里对能带上所有占据的能级积分。这时我们可以利用满带不导电的事实写出近满带对电流密度的贡献， $%5Cbegin%7Balign%7D%0A0%3D%5Cint_%7Boccupied%7D%5Cfrac%7Bd%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%7B4%5Cpi%5E3%7D%5Ctextbf%7Bv%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%2B%5Cint_%7Bunoccupied%7D%5Cfrac%7Bd%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%7B4%5Cpi%5E3%7D%5Ctextbf%7Bv%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.11%7D$ 所以我们可以写出近满带的电流密度可以等价表示为 $%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Ctextbf%7BJ%7D%3De%5Cint_%7Bunoccupied%7D%5Ctextbf%7Bv%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%5Cfrac%7Bd%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%7B4%5Cpi%5E3%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.12%7D$ 这相当于将所有电子占据态看作空态，而将所有未占据态看作是被电荷为+e的粒子所占据。因此，尽管电荷仅被电子传输，但是可以引入一种假想的，带正电荷e，填满带中所有电子未占据态的粒子，这种假想的粒子称为空穴。所以近满带，带中大量电子的行为可以简化成少数空穴的效应，这样做十分方便。为了完善空穴理论，我们还需要考虑加入外场以后未占据能级的变化。
带中未被占据的能级在外场的作用下随时间的变化应与它们被真实电子占据时相同。这是因为给定了t=0时波矢和位置信息，根据半经典方程可以求出波矢和位置随时间的变化。
所以我们可以根据电子随外场的响应来研究空穴随外场的响应。根据半经典模型方程，电子的运动满足 $%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Chbar%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%3D-e(%5Ctextbf%7BE%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%7D%5Ctextbf%7Bv%7D%5Ctimes%5Ctextbf%7BH%7D)%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.13%7D$ 电子的轨道是否与自由电子的轨道类似取决于加速度是否平行于 $%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D$ 。若加速度方向与 $%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D$ 相反，电子的反应将更像带正电荷的自由粒子。碰巧的是，当 $%5Ctextbf%7Bk%7D$ 为空能级的波矢时， $d%5Ctextbf%7Bv%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%2Fdt$ 的方向和 $%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D$ 相反。

在平衡态或者不明偏离平衡态时，未占据的能级通常靠近带顶。若能带能量 $E(%5Ctextbf%7Bk%7D)$ 在 $%5Ctextbf%7Bk%7D_0$ 处于最大值，并且若 $%5Ctextbf%7Bk%7D$ 在 $%5Ctextbf%7Bk%7D_0$ 附近，我们可以对 $%5Ctextbf%7Bk%7D_0$ 作展开， $%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7Bk%7D_0$ 中的线性项在最大值处消失，因为 $%5Ctextbf%7Bk%7D_0$ 处能量的一阶导数为0。如果我们假设 $%5Ctextbf%7Bk%7D_0$ 是一个具有高对称性的点，那么二次项将与 $(%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7Bk%7D_0)%5E2$ 成比例。所以 $%5Cbegin%7Balign%7D%0AE(%5Ctextbf%7Bk%7D)%5Capprox%20E(%5Ctextbf%7Bk%7D_0)-A(%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7Bk%7D_0)%5E2%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.14%7D$

这里A为正。通常用以下方法定义有效质量 $m%5E%5Cstar$

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%7D%7B2m%5E%5Cstar%7D%3DA%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.15%7D$

对于靠近 $%5Ctextbf%7Bk%7D_0$ 的波矢，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Ctextbf%7Bv%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%5Capprox%20-%5Cfrac%7B%5Chbar%20(%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7Bk%7D_0)%7D%7Bm%5E%5Cstar%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.16%7D$

因此有

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Ctextbf%7Ba%7D%3D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5Ctextbf%7Bv%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%3D-%5Cfrac%7B%5Chbar%7D%7Bm%5E%5Cstar%7D%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.17%7D$

从这里可以看出加速度方向和 $%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D$ 相反。

将加速度和波矢的关系(12.17)代入到公式(12.13)，我们发现只要电子的轨道被限制在带顶，电子对外场的响应就像它有一个负质量 $-m%5E%5Cstar$ 。通过简单改变两边的符号，我们可以将公式(12.13)视为描述了具有质量为 $m%5E%5Cstar$ 的正电粒子的运动。由于空穴对外场的响应和电子处于未占据能级时相同，这就完成了空穴在各方面都像普通正电荷粒子的证明。

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[CH12上]电子动力学的半经典模型

半经典模型

半经典模型的一些说明以及局限性

运动方程的基础

满带不导电

空穴