视频 BV1c34y1a7D3 定理 证明
定理1.
设
BC边上的高为h
有
AB·ADsin∠BAD=BD·h
AC·ADsin∠BAD=CD·h
即
AB/AC=BD/CD
即
AB·CD=AC·BD
得证
定理2.
据
AD为角分线
有
AB/AC=BD/CD
即
CD·AB
=BD·AC
即
（BD+CD）·CD·AB
=（BD+CD）BD·AC
即
CD²AB+BD·CD·AB
=BD²AC+BD·CD·AC
即
－BD·DC·AC+BD·DC·AB
=-CD²AB+BD²AC
即
AB·AC²－AB²·AC－
BD·DC·AC+BD·DC·AB
=AB·AC²－AB²AC
－CD²AB+BD²AC
即
AB·AC²－AB²AC
－CD²AB+BD²AC
=（AB·AC-BD·DC）（AC－AB）
即
AB·AC-BD·DC
=（AB·AC²－CD²AB+BD²AC－AB²AC）
/（AC－AB）
据
AD为角分线
有
（AB²+AD²-BD²）/（2AB·AD）
=（AC²+AD²-CD²）/（2AC·AD）
即
（AB²+AD²-BD²）/AB
=（AC²+AD²-CD²）/AC
即
AB²AC+AD²AC-BD²AC
=AC²AB+AD²AB-CD²AB
即
AD²
=（AC²AB-CD²AB+BD²AC－AB²AC）
/（AC－AB）
综
AD²=AB·AC-BD·DC
得证
定理3.
有
ADsin∠BAD(AB+AC)=AB·ACsin(2∠BAD）
即
AD(AB+AC)=2AB·ACcos∠BAD
即
(AB+AC)/(AB·AC）=2cos∠BAD/AD
即
1/AB+1/AC=2cos∠BAD/AD
得证
ps.
定理2.
证明
抑或
设
AD与△ABC外接圆交于H
有
AD·HD=BD·CD
且
△ACD∽△AHB
即
AC/AH=AD/AB
即
AC·AB=AD(AD+DH)=AD²+AD·DH
即
AB·AC-BD·CD=AD²+AD·DH-BD·CD=AD²
得证
