郑涛（Tao Steven Zheng）著

牟合方盖是魏晋时期数学家刘徽（公元 3 世纪）构造的立体几何形状。此特殊形状出于中国古代数学家推导精确球体体积公式的研究。《九章算术》第四卷“少广”里的开立圆术给出球体积公式为

其中， 为球体的直径。 刘徽指出这个公式不准确，误差较大。据刘徽《九章算术注》：

     取立方棊[1]八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆囷 [2]，径二寸，高二寸。又复横规之，则其形有似牟合方盖矣。八棊皆似阳马[3]，圆然也。按：合盖者，方率也。丸[4]其中，即圆率也。

今译：取 8 枚正方体棋，使每个正方体的边长都是 1 寸，将它们合拼起来，成为边长为 2 寸的正方体。竖着用圆规分割它，变成圆柱体：直径是 2 寸，高也是 2 寸。又在横着使用上述方法割，那么分割出来的形状就像一个牟合方盖。而 8 个方棋都像阳马，只是呈圆弧形的样子。按：盒盖（牟合方盖）的率是方率，那么球体内切于其中，一定是圆率。

[1] 棊 qí：“棊” 同“棋”；立体几何模型。

[2] 圆囷 yuán qūn：圆柱体。

[3] 阳马 yáng mǎ：底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体。

[4] 丸 wán：球体；古人将球称为“丸”或“立圆”。

从刘徽这一段描述牟合方盖为两个等径正交圆柱体（圆囷）的公共部分。它的每一个横截面皆是正方形，与内接球在等高的横截面的圆形面积比率为 （方率：圆率）。因此，牟合方盖体积与球体积之比率也是 。

从而，刘徽把推导球体积的问题转化成推导牟合方盖体积的问题。可惜，刘徽没有解决这个难题。

在刘徽后二百多年，南北朝时期数学家祖暅（公元5世纪）进一步想出了求牟合方盖体积的方法。他把边长为内接球半径  的棊（立方体全体的八分之一）分为两个部分：内棊（牟合方盖全体的八分之一）和外棊。

如图 1-3 左，设横截面与底面的距离为 、内棊的截面（紫色阴影区）之边长为 。由勾股定理，内棊的正方形截面之边长是 。内棊截面积是 。设棊截面积为    、棊截面（紫色阴影区）的面积为 。外棊截面（红色阴影区）的面积是棊截面与内棊截面的面积差：

祖暅提出“缘幂势既同，则积不容异”[5]的原理来分析外棊的体积。这里“幂”是指截面积，“势”是指立体的高，即两个立体在等高处的截面积相等，则这个两立体的体积也是相等的。如图 1-3 右，祖暅由此得知外棊的体积和一个正阳马的体积是相等的。

[5] 这个原理叫 “祖暅原理” 或 “刘祖原理”。

所以内棊的体积是

牟合方盖的体积等于八个内棊，所以

因为 ，球体积是

古中国数学家一般使用球的直径：

唐代道士、数学家、天文学家李淳风（602 年－670 年）取用 ，给出球体积公式