量力学的量子力学（家庭版）：贝尔不等式

量子力学是十分违反大多数人的直觉的。这样想的不仅仅有普通人，即使是二十世纪初最聪明的大脑袋里，也有数不清的人难以接受量子力学。这之中最家喻户晓的莫过于，物理学的皇帝，相对论的创立者，量子力学的先驱，诺贝尔黄金奖章的主人， 阿尔伯特·爱因斯坦陛下。 阿尔伯特·爱因斯坦陛下对反直觉的量子力学之厌恶，从爱尔兰到契丹无人不知无人不晓。（所以量子力学要量力学，难道大家比 阿尔伯特·爱因斯坦陛下还聪明吗？）为了抗衡量子力学， 阿尔伯特·爱因斯坦陛下提出了所谓的局域隐变量理论。大家一度认为这局域隐变量理论是无法证伪的——直到 阿尔伯特·爱因斯坦陛下的忠实精神追随者，约翰·贝尔，提出了贝尔不等式，并最终利用这个将局域隐变量理论证伪。（这就是典型的粉丝背刺偶像导致偶像下不来台。不过贝尔最终也没有放弃隐变量理论，算是从一而终的铁粉了。）我们今天就来用大家能听懂的语言讨论讨论贝尔不等式的某一个变形，顺便告诉大家——量子力学的的确确是正确的！

半仙儿张三和李四一直声称他们掌握了神秘的量子科技，可以做到心有灵犀。为了测试他们是否真的如此，大家把他们被分别关在两个屋子里，不让他们交流，然后和他们做一个叫做CHSH游戏的多轮积分游戏——在每一轮里，大家先分别告诉他们一个可能是0也可能是1的数字（张三和李四得到的数字可能不一样），紧接着让他们立刻各自回答一个同样可能是0也可能是1的数字，最后依据他们的回答给他们积分。积分规则是，如果张三和李四至少有一个人得到的数字是0，那么张三和李四必须回答相同的数字才能积1分；如果张三和李四两人得到的数字都是1，那么张三和李四必须回答不同的数字才能积1分。

那张三和李四该怎么才能尽可能多地积分呢？按照我们普通人的直觉，张三和李四能做的就只有在被分开之前商量好一个策略，然后按照这个策略执行。一个最简单的策略就是张三和李四商量好了永远回答数字1。在这个策略里，只要张三李四有一方收到的数字是0，他们就能积1分；如果张三李四收到的数字都是1，他们就不能积分。有没有可能进一步提升这个策略呢？很不幸，不能。举个例子，假设张三和李四再分开之前商量好了两套方案，第一套方案是如果他们有一方收到了数字0，那就都回答数字1，第二套方案是如果他们都收到了数字1，那就张三回答数字1，李四回答数字0；在分开之后，李四收到了数字1，此时由于李四不知道张三收到的数字是什么，所以李四并不知道该用哪套方案，只能随便选一个方案，进行一场豪赌了。如果他们选取最优策略，回答正确的概率只有75%，也就是说玩100轮积分游戏，他们最多可以积大概75分。多提一句，粗略来说，局域隐变量理论的基本思想就是，如果两个事件互有关系但分隔两地，那一定是有一些确实存在但我们不知道的变量（也就是隐变量）决定了这两个事件。在我们考虑的积分游戏这里，张三和李四提前确定的策略就是这个隐变量。局域隐变量理论对积分游戏给出的正确概率最高就是75%。

但是，如果张三和李四都是真·半仙儿，能够处理量子系统，那他们可以做得更好。一个由两个部分组成的量子系统可以处于一种非常特殊的状态，叫做最大纠缠态。最大纠缠态有很好的性质：如果张三用某种方式测量一下（比如用眼睛看）最大纠缠态的第一个部分，张三会得到一个随机的结果（比如要么是0，要么是1）；同时张三知道如果此时李四用同样方式测量一下（用眼睛看）它的第二个部分，李四一定会得到和张三一样的结果，如果李四用不同方式测量一下（比如用耳朵听）它的第二个部分，李四有可能得到和张三不一样的结果。张三和李四可以用这种方法提升他们同时收到数字1时回答不同数字的概率。如果他们选择最优策略，张三和李四回答正确的概率有大约85%，也就是说他们进行100轮积分游戏，最多大概可以积85分。量子理论对积分游戏给出的正确概率最高就是85%。

好了，既然如此，我们就找到验证局域隐变量理论和量子理论的方法了！我们找到两个半仙儿，张三和李四，然后我们和他们玩这个积分游戏，最后看看他们每100轮积分游戏能积多少分。如果他们能积到75分以上，那我们就可以确定他们真的掌握了神秘的量子科技，量子理论就是对的了！这就是2022年诺贝尔奖大佬们所做的事情——他们用光子充当张三和李四，然后进行这个积分游戏，最终他们得到了接近于0.85的正确概率。所以，现在的物理学家公认，量子理论是比局域隐变量理论更正确的理论！（注意看，CHSH游戏里面的C指的就是中间这位大佬，约翰·克劳泽~）

注释：

（局域）隐变量理论，(local) hidden variable theory

CHSH游戏，Clauser-Horne-Shimony-Holt game

最大纠缠态，maximally entangled state

参考文献：

Hooyberghs, J. (2022). The CHSH Game. In: Introducing Microsoft Quantum Computing for Developers. Apress, Berkeley, CA. https://doi.org/10.1007/978-1-4842-7246-6_10