平面几何题目分享（12）一道自编水题，可能陈

如图，圆A，圆B，圆C两两相切与D，E，F三点，圆ω同时与圆A，圆B，圆C外切，其中与圆C的切点为I，与圆B的切点为J；圆φ与圆A，圆B，圆C同时外切，其中与圆C的切点为M，与圆B的切点为N，直线IM与NJ相交于X，ID与JF相交于Y，DM与FN相交于Z，求证：XYZ三点共线。

观察图形，不难发现这个图有一个很明显的特点：相切的圆们。这其中藏着许多切线带来的角等，也成全了许多四点共圆，这些四点共圆能为我们提供破题的方向。

由切线（图中绿线）带来的等角（难度不大，篇幅限制，懒得码字，还请各位大佬自己倒吧），可得EFHJ四点共圆。同理：DHIE，DJIF四点共圆。观察这三个圆，我们发现，点Y恰为三圆根心，于是Y在圆HIE与圆HJE的根轴上，即HYE三点共线。

类似的，我们还能得到如上图三个四点共圆，以及根心Z。

以上对点Y，Z的刻画似乎不能给我们带来什么帮助。这里，需要一个引理来帮助我们。

如下图，三角形ABC外心为O，过三边分别做三个圆，再次交于DEF三点，设三圆根心为P，三角形DEF外心为Q，则OPQ三点共线。

我们用位似的手段证明这个引理。

设AF，BD，CE分别再次交圆DEF于H，G，I。由对视角相等易得图中粉色角相等。于是HI∥BC。同理，GH∥AB，IG∥AC。由这三对平行，易得△ABC∽△GHI，准确来说是位似，位似中心为P。注意到Q同时也是△IGH的外心，于是两个三角形外心连线过点 P就是显然的了。

设圆PMN的圆心为O，△DEF外心为R，三角形IJH外心为S，由引理，ORZ三点共线，SXY三点共线。这时，我们遇到了一个困难：X点的刻画。X点是NJ与IM的交点，这两条线似乎暗示了一内切，一外切，两圆的关系。

由切线的性质，易得圆DEF为三角形ABC的内切圆，即三角形ABC的内心为R（未画出）。注意到RD，RE，RF均为切线，易得R到三圆的幂均为圆DEF半径的平方。设RI，RJ，RH分别再次交圆O于M1，N1，P1。由圆幂定理，易得点I，J，H关于圆DEF的反像分别为M1，N1，P1。于是圆IJH与圆M1 N1 P1互为反像。

那么圆MNP与圆M1 N1 P1的关系又是什么呢？注意到过R的任意一条射线，与圆A，圆B，或圆C相交得到的两点均为关于圆DEF的一对反像，简而言之，R关于三圆的极线分别为DE，EF，DF。

所以，设圆M1N1P1与圆A再次交于P2，则P2关于圆DEF反演后得到的点既在圆R上，又在圆A上。而圆R与圆A相切，所以，最这个点一定是H点。而H点的反像为P1。这就证明了P1，P2是同一点，即圆M1N1P1与圆A相切。同理它也与另两个圆相切。至此，我们探明了圆MNP与圆M1N1P1的关系，那就是：同一个圆！所以，NJ与IM交出的X点就是R点。

这样，刚刚的ORZ三点共线，SXY三点共线可写成:OXZ三点共线，SXY三点共线。

注意到要证的问题：XYZ三点共线。我们发现，已证的两组三点共线并不能合为一组四点共线，所以，我们还要证OXS三点共线。

OSX三点都是圆心，且圆S关于圆X的反像为圆O。由反演的性质，有OSX三点共线。

于是，三组三点共线：OSX，OXZ，SXY便可写成一组五点共线：OSXYZ五点共线。这五点里，就有我们要的XYZ三点共线。