給定三個點如何找出到三頂點等距的點？這個點其實就是所謂的外心，這次將示範用 Geogebra 的工具來為演示找出外接圓的圓心，並認識外心一些基本特性。

任務一：用 [線段] 工具測量一點到三頂點的距離

在這個任務先繪製三角形ABC 與一點 D ，並利用線段工具連接 AD, BD, CD 。接著拖拉 D 觀察這三段距離的變化，試著找出 D 到三頂點等距的點。

因目前只關注幾何圖形的操作，可將座標軸用以下兩種方式來隱藏。

用[線段(過兩點)] 來連接線段，在樣式區將標籤顯示為線段長，並調整顏色與線段樣式。

【思考】要找到到三點等距的點，先找到到A,B 兩點等距的點的特色。

任務二：用 [中垂線]與[交點]，找出到兩點等距的點

利用到兩點等距的點會位在這兩點的中垂線上。再利用 [中垂線]，依序建立 AB, AC 的中垂線。再利用 [交點] 工具來取得兩條中垂線的交點。

用 [中垂線] 工具，依序選取 A,B 兩點就可出現 AB 的中垂線。

此時將 D 移動到線上，可觀察到 AD = BD。

再建一條中垂線取得外心

【思考】為何三條中垂線會交在同一點。

任務三：用 [圓(圓心、一點)] 工具，繪製三角形的外接圓

找到到三點等距的點，就可利用這點來繪製一個通過三頂點的圓，這個圓就稱為三角形的外接圓，而此圓心又稱為三角形的外心。

外心習慣上會命名為 Ｏ，可用右鍵選單重新命名。

【思考】試著移動三角形的形狀，探究外心何時會在三角形內部何時在三角形外部。

任務四 探究角度對外心位置的影響

用［畫角度] 工具來探究外心對角度的影響。

在使用 [畫角度] 工具時要注意角的選取順序。若要維持為 180 度內，可在角度的設置選單中限制顯示角度介於 0~180 度。

可觀察在直角三角形時，外心在斜邊的中點上。而銳角三角形時，外心在三角形內部。鈍角三角形時，外心在三角形外部。

任務五 外心與兩頂點夾角的探究

試著標註 ∠ BOC ，來探究 ∠ BAC 與 ∠ BOC的關係。在銳角三角形時，有  ∠ BOC=2∠BAC 的關係。

在鈍角三角形，也有類似的關係，只不過此時的兩倍角會大於 180 度。因此，考慮小於 180 度的角之時，就有 ∠ BOC= 360 - 2∠BAC 的關係。

【思考】試著思考為何角 BOC 等於兩倍的角 BAC ?

小結

在這次專題我們學會了利用中垂線找出到 A,B,C 三頂點等距的點，也了解到這個點稱為三角形 A,B,C 的外心，並學會製作外接圓。根據這次所學你可以嘗試作三角形內切圓的圓心，也就是所謂的內心。因為內切圓與三邊相切，所以內心有到三邊距離相等的特性。你可以嘗試用 Geogebra 的工具來繪製看看，期待你分享你的探究學習心得。

相關連結

【GGB】https://www.geogebra.org/classic/snnwtvtg 

【Bili】https://www.bilibili.com/video/BV1AU4y1Y7Ut  

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