三角函数家族科普大全（二）：探寻家族24个函数的定义域、值域、图像、导函数及原函数

书接上回，继续探访剩余两大类函数，没有看过第一期的，可点此前往第一期观看三角函数家族第一期科普（本篇文章也是建议在电脑端进行观看，公式都是以图片的形式插入的，如果在手机端观看排版可能会出现问题，影响观感）

三.双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割

从这类函数开始，大家可能就比较陌生了，可能大部分人都没有听说过，没关系，马上来进行介绍

1.，也就是双曲正弦函数，定义域为，值域为，导函数为，原函数为

2.，也就是双曲余弦函数，定义域为，值域为，导函数为，原函数为

3.，也就是双曲正切函数，即双曲正弦函数除以双曲余弦函数，定义域为，值域为，导函数为原函数为

Tips:对于双曲正弦函数和双曲余弦函数，有关系式，证明方法为

4.，也就是双曲余切函数，即双曲余弦函数除以双曲正弦函数，因为双曲正弦函数作为分母，定义域需要满足，即，值域为，导函数为原函数为

5.，也就是双曲正割函数，即双曲余弦函数的倒数，定义域为，值域为，导函数为原函数为

6.，也就是双曲余割函数，即双曲正弦函数的倒数，因为双曲正弦函数作为分母，定义域需要满足，即，值域为

导函数为原函数推导过程如下

四.反双曲正弦、反双曲余弦、反双曲正切、反双曲余切、反双曲正割、反双曲余割

或许你已经猜到了，没错，这一类函数又是与前面一类相对应的函数关于对称，同样的，有一部分反函数对称之后的图像会导致一个x值对应多个y值，需要舍弃掉其中一个分支，下面展开介绍

1.，也就是反双曲正弦函数

与关于对称，定义域为，值域为

导函数为再利用分部积分法，求得原函数为

2.，也就是反双曲余弦函数

与关于对称，但是对称之后的图像会导致一个x值对应两个y值，数学上只选取位于x轴上方的分支，舍弃掉x轴下方的分支，所以值域为。定义域需要同时满足，解不等式组得到

导函数为再利用分部积分法，求得原函数为

3.，也就是反双曲正切函数，与关于对称，定义域需要同时满足，解不等式组得到，值域为

导函数为再利用分部积分法，求得原函数为

4.，也就是反双曲余切函数，与关于对称，定义域需要同时满足，解不等式组得到，值域为

导函数为

再利用分部积分法，求得原函数为

5.，也就是反双曲正割函数，与关于对称，但是对称之后的图像会导致一个x值对应两个y值，数学上只选取位于x轴上方的分支，舍弃掉x轴下方的分支，所以值域为。定义域需要同时满足，解不等式组得到

导函数计算过程如下

再利用分部积分法，求得原函数为

6.最后一个函数为反双曲余割函数，它的解析式比较特殊，需要分两段来写，即

与关于对称

定义域为，值域为

相应地，导函数也需要分成两段来写，即

原函数也是一样要分为两段

到此，三角函数家族里的24个函数已经初步地介绍完了，我们可以发现一些有趣的规律，例如，我们在求反函数系列的12个函数的原函数时，都清一色地用到了同一个方法，那就是分部积分法。另外更有意思的是，只要有这四个函数，其余20个函数都可以由这四个函数衍生得到，例如正切函数是正弦函数除以余弦函数得到的，正割函数是由余弦函数取倒数得到的，反正弦函数是由正弦函数关于对称得到的等等。（因为插入的图片数量已快达到100张的上限，我还想继续介绍反双曲函数系列解析式的由来，下期将开启一个番外篇来进行介绍）