【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。 

第一章静电学

【山话||  本系列专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；功的单位尔格等于10⁻⁷焦耳；热量的单位卡路里等于4.186焦耳；电荷的单位静库（1库伦=3×10⁹静库）；电势的单位静伏等于300伏特。另外这套老教材中力的单位常用公斤、克等，但如今是不允许的，力是不能使用质量单位的。】 

§1-7电势

1、电场力的功和电势能

【01】在力学里我们已经学习过，当物体在重力的作用下移动时，重力要作功，同时物体的重力势能要发生变化。如果物体顺着重力方向运动，即物体下降时，重力作正功，同时势能减少；重力作多少正功，势能就有多少减量。当物体逆着重力方向运动，即上升时，重力作负功，同时势能增加；重力作多少负功，势能就有多少增量。

【02】与地球上的物体一定要受到重力作用相似，在电场里的电荷也一定要受到电场力的作用。当电荷在电场力的作用下移动时，电场力要作功，电势能要发生变化.当电场力作正功时，电势能减少；当电场力作负功时，电势能增加，电场力作多少功，电势能就有多少变化。

【03】图1·21表示一个场强为 E 的匀强电场。正电荷 q 所受到的电场力与场强 E 同方向，它的大小  。

【04】P 为电荷 q 的起始位置。当它顺着场强的方向移动到位置 L 时，电场力 F 作正功  。

【05】当它沿垂直于场强的方向移动到位置 M 时，电场力不作功。当它沿 PN 直线移动到位置 N 时，电场力作正功  。

【06】从图上可以看出，如果电荷 q 不是直接从 P 点移动到 L 点，而是经过路径 PMNL 到达 L 点，那么电场力所作的总功等于在各段路程（PM、MN 和 NL）上所作功的和。在 PM 段，电场力不作功；在 MN 段，电场力作功 qE·MN；在 NL 段，电场力也不作功。因此，在整个路程PMNL 上，电场力的功  。

【07】如果经过路径是 PNL，那么根据同样的方法，可以求得电场力的功  。

【08】理论证明，不管电荷 q 是沿直线路径、折线路径，还是沿任意的曲线路径从 P 点移动到 L 点，电场力所作的功总是等于  。

【09】根据以上的讨论，我们可以得出结论：当电荷在电场里移动时，电场力的功只与电荷的起始位置和终止位置有关，而与电荷实际经过的路径无关。

【10】由于电场力的功等于电势能的变化量（增量或减量），所以我们也可以说：当电荷在电场里移动时，电势能的增减只与电荷的起迄位置有关，与它实际经过的路径无关。

【11】上面的结论，不仅对匀强电场适用，对别种电场也同样适用。这是电场的又一重要性质。

【12】在研究有关电势能的问题时（其实，在研究有关重力势能的问题时也是这样），重要的是要了解电荷从一个位置移到另一位置时势能的增减量，至于电荷在某一位置究竟具有多少势能，却不是一个重要的问题。通常我们总是先在电场中任意选定一个位置，假设电荷在这一位置时的电势能为零（称它为零势能位置），然后根据电场力作功的正负和多少，来确定电荷在其他位置的电势能。

【13】仍以图1·21所示的匀强电场为例来说明：当正电荷从 P 点移到 L 点时，电场力作正功 A，电势能减少 A；当负电荷从 P 点移到 L 点时，电场力作负功 A，电势能增加 A  。如果我们选定 P 为零势能位置，那么正电荷在 L 点时电势能等于－A（比零小），负电荷在 L 点时电势能等于＋A（比零大）。如果我们选定 L 为零势能位置，那么正电荷在 P 点时电势能等于＋A，负电荷在 P 点时电势能等于－A  。由此可见，电势能的大小是没有什么绝对意义的，它只不过是和任意选定的零势能位置相比较而得出的结果而已。

【14】电势能和重力势能一样，都不是矢量，都没有方向性，如果电荷在某一位置的电势能为正值，这就表示电荷在该位置的电势能比在标准位置（任意选定的零势能位置）的电势能大；如果为负值，则表示较小。类似地，在研究重力势能时，我们常取地面为标准位置（即取物体在地面处的势能为零），故物体在地面以上的势能为正值，在地面以下为负值。

【15】在力学里我们还曾学过，重力势能是为地球和重物所共有的，而不是为重物所独有的。同样，电势能也是为电场和电荷所共有的。离开电场，电荷就不受电场力的作用，当它从一个位置移到另一位置时就不作功，因而也就根本谈不到电势能的增减和电势能。通常我们说“电荷具有多少势能”，只是一种惯用的简便说法，绝对不能误解为电荷单独具有势能。

2、电势

【16】在电场里，只要有电荷存在，就一定有电势能存在。这是电场特性的另一种表现。

【17】电势能的大小虽然没有绝对的意义，但在选定了标准位置以后，电荷在一定位置的电势能总是确定的，不可能时大时小。这说明电势能的大小与电场的某种性质有关。同一个电荷，在电场中不同的位置上，由于这种性质的不同，其电势能的大小也就不同。

【18】除此以外，电势能既为电场和电荷共同所有，它的大小也就必然不会单独为电场的性质所决定，而是也要为电荷的电量及正负有关。

【19】为了定量地表示电场的这种性质，我们引入一个新的物理量——电势，并且规定：

【20】电场中某一点的电势等于单位正电荷在该点的电势能。或说：

【21】电场中某一点的电势等于电荷在该点的电势能和电荷电量的比。

【22】如果用 W 表示电荷 q 在电场中某一位置的电势能，那么该位置的电势 U 可用定义式表示如下：  。

【23】由于电荷在标准位置的电势能假定为零，所以标准位置的电势也必须假定为零。和电势能相同，电势的大小也没有绝对的意义，它只不过是和标准位置相比较出的结果而已。在实际应用时，我们常取地球为标准位置（即零电势位置）；在理论研究时，我们常取无限远处为标准位置。在习惯上，我们也常用“电场外”这样的说法来代替“零电势位置”.。

【24】在厘米·克·秒制静电单位系中，电势的单位为尔格/静库，它就叫做静电系单位电势，或简称为静伏。如果把 1 静库的正电荷放在电场中某一位置，电势能正好是 1 尔格，那么这一位置的电势就是 1 静电系单位电势，或称为 1 静伏。

【25】电势的实用单位为焦耳/库仑，叫做伏特。如果把 1 库仑的正电荷放在电场中某一位置，电势能正好是 1 焦耳，那么这一位置的电势就是 1 伏特。。

【26】即 1 伏特等于 1/300 静电系单位电势。

习题1-7(1)

1、电场中某一位置的电势是 60 伏特。先后把电量 q₁＝100静库 和 q₂＝2×10⁻⁷库仑 的正电荷放在这一位置，问电势能各为多少？【＋20尔格，＋120尔格】

2、如果前题中的 q₁ 和 q₂ 都是负电荷，放在该位置的电势能又各是多少？【－20尔格，－120尔格】

3、如果把正电荷从电场中的一点移向电场外时，电场力作正功，那么正电荷在这一点的电势能是正值还是负值？负电荷在这一点的电势能是正值还是负值？这一点的电势是正值还是负值？【正值、负值、正值】

4、如果负电荷从电场中的一点移向电场外时，电场力作正功，那么负电荷在这一点的电势能是正值还是负值？正电荷在这一点的电势能是正值还是负值？这一点的电势是正值还是负值？【正值、负值、负值】

5、把电量为 5 静库的正电荷从电场外移到电场中的某一点，需要用外力抵抗电场力作功（即电场力作负功）10 尔格，问这一点的电势是多少？如果把电量为 8 静库的负电荷放在这一点，电势能又是多少？【＋2静伏，－16尔格】

6、附图表示一个正点电荷 Q 的电场。如果把正电荷＋q 放在 A 点 或 B 点，问它在哪一点时电势能较大？如果把负电荷－q放在 A 点或 B 点，问它在哪一点时电势能较大？哪一点的电势较高？【A点，B点，A点电势高】

7、附图表示一个负点电荷 Q 的电场。问正电荷＋q 在 A 点处的电势能较大呢，还是在 B 点处的电势能较大？如果把负电荷－q 放在 A 点 或 B 点，问在哪一处时电势能较大？哪一点的电势较高？（要求说明理由）【B点，A点，B点电势高】

3、电势差

【27】对一定的标准位置来说，电场中每一点处都有一个确定的电势。例如在习题1-7(1)第 6 题附图中，A 点处的电势为 UA，B 点处的电势为 UB，那么 UA 和 UB 的差值就叫做 A、B 两点间的电势差，并用下面两个等式来表示：VAB＝UA－UB，VBA＝UB－UA  。

【28】式中 VAB 表示 A 点处电势比 B 点处电势高出多少，VBA 表示 B 点处电势比 A 点处的电势高出多少。

【29】设令正电荷 q 在 A 点和 B 点的电势能分别为 WA 和 WB，那么根据电势的定义式，可以写出等式：WA＝qUA，和 WB＝qUB  。

【30】从而可以看出，电荷 q 从 A 点移到 B 点的电势能减量：WA－WB＝q(UA－UB)，或WA－WB＝qVAB  。

【31】由于电势能减量等于电场力所作的功，所以正电荷 q 从 A 点移到 B 点时，电场力所作的功：A=qVAB  。

【32】这就是说：电场中 A、B 两点间的电势差等于单位正电荷从 A 点移动到 B 点时电场力所作的功。

【33】正电荷的电量 q 为正值，当它从电势较高的 A 点移向电势较低的 B 点时（如习题1·7(1)第 6 题附图所示），电势差 VAB 也为正值，故此时 A＝qVAB 为正值，即电场力作正功；当它从电势较低的 A 点移向电势较高的 B 点时（如习题1·7(1)第 7 题附图所示），电势差 VAB 为负值，故此时 A＝qVAB 为负值，即电场力作负功。原来静止在电场里的正电荷，如果只受电场力的作用，那么它总是从电势较高的一点向着电势较低的一点运动。

【34】负电荷的电量 q 为负值，当它从电势较高的 A 点移向电势较低的 B 点时（如习题1·7(1)第 6 题附图所示），电势差 VAB 为正值，故此时 A＝qVAB 为负值，即电场力作负功；当它从电势较低的 A 点移向电势较高的 B 点时（如习题1·7(1)第 7 题附图所示），电势差 VAB 为负值，故此时 A＝qVAB 为正值，即电场力作正功。原来静止在电场里的负电荷，如果只受电场力的作用，那么它总是从电势较低的一点移向电势较高的一点。

【35】总之，原来静止在电场里的电荷，不管它带正电还是负电，只要是在电场力的单独作用下运动，总是向着电场力作正功的方向运动，也就是说，它总是从电势能较大的一点移向电势能较小的一点。

4、等电势点和等电势面

【36】在电场中，凡是电势相等的各点都叫做等电势点。在匀强电场里，分布在同一个垂直于电力线的平面上的各点都是等电势点。这个垂直于电力线的平面就叫做等电势面，意即面上各点的电势都相等。图1·22表示一个匀强电场。AB、CD 等许多垂直于电力线的平面都是等电势面，每一个等电势面都有确定的电势，但不同等电势面的电势却不相同。

【37】在点电荷电场里，所有的等电势点都是离开点电荷等距离的点，它们分布在一个以点电荷为中心的球面上。这个球面也叫做等电势面图1·23表示一个点电荷电场，许多同心球面都是等电势面，但各个球面上的电势却互不相同。

【38】电荷 q 在一个等电势面上运动时，由于电势能没有增减，所以电场力不作功。

【39】由于在两个等电势面之间总有确定的电势差 V 存在，电荷 q 从一个等电势面移到另一个等电势面的电势能变化（增或减）等于 qV，因而电场力所作的功也等于qV（负或正）。

【40】只要电荷 q 在电力线的方向（即电场强度的方向）上有运动，电场力总是要作功的。已知电荷在等电势面上运动时电场力不作功，所以一切等电势面总是和电力线正交（即相垂直）。

习题1-7(2)

1、电场中 A、B 两点间的电势差 VAB＝0.2静伏。现在把 q＝＋0.3库仑 的正电荷从 A 点移到 B 点，问电场力作多少功？如果把 q＝－0.5库仑 的负电荷从 A 点移到 B 点，电场力又作多少功呢？【＋18焦耳，－30焦耳】

2、在电场中，把 q＝10⁻⁵ 库仑的正电荷从 A 点 移到 B 点，需要抵抗电场力作功 600 尔格，求 A，B 两点间的电势差，并指出哪一点的电势较高。【6伏特，B点】

3、在电场中有甲、乙两个等电势面，甲等电势面的电势是 300 伏特，乙等电势面的电势是 200 伏特。求在下列各情况下电场力所作的功：

(1)电量是 10⁻⁷ 库仑的正电荷从甲面移到乙面；【＋10⁻⁵焦耳】

(2)电量是 10⁻⁸ 库仑的负电荷从甲面移到乙面；【－10⁻⁶焦耳】

(3)电量是 500 静库的正电荷从乙面移到甲面；【－1.67×10⁻⁵焦耳】

(4)电量是 400 静库的负电荷从乙面移到甲面；【＋1.33×10⁻⁵焦耳】

(5)电量是 50 静库的正电荷从甲面上某一点移到甲面上另一点；【0】

(6)电量是 80 静库的负电荷从乙面上某一点移到乙面上另一点。【0】

4、分别说明正、负电荷在电场里移动时的作功情况和电势能增减情况。并说明电荷在电场中移动时，电场力的功是怎样计算的？

5、原来静止在电场中的带电体，如果除电场力之外，不受任何其他力的作用，问它沿什么方向运动？势能的增减情况怎样？减少的势能变成什么能？

6、什么叫做电势？电势是用什么来量度的？电势的单位是怎样规定的？什么叫电势差？

7、什么叫做等电势点？什么叫做等电势面？为什么电荷在等电势面上运动时电场力不作功？

5、电势差跟电场强度的关系

【41】场强和电势都是用来表示电场特性的物理量，它们从不同的方面来表现电场的特性、场强表现电荷在电场里总要受到电场力的作用，电势表现电荷在电场里总要具有电势能。电场的这两个特性是相互联系的，所以场强和电势虽是两个不同的物理量，它们之间却存在着一定的关系。这种关系可用匀强电场作例子来作初步的说明。

【42】图1·24表示一个场强等于 E 的匀强电场。如果把正电荷 q 放在 A 点，那么，在电场力的作用下它将顺着场强的方向（即电力线的方向）移向 B 点。这说明 A 点的电势高于 B 点的电势，同时还说明电势顺着场强的方向降落。

【43】这个结论，对不均匀的电场也是适用的。拿习题1·7(1)第 6 题附图所示点电荷电场来说，场强的方向由 A 指向 B，电势降落的方向也是由 A 指向 B  。再拿习题1·7(1)第 7 题附图所示点电荷电场来说，场强的方向由 B 指向 A，电势降落的方向也是由 B 指向 A  。

【44】场强和电势降落，不仅在方向上存在着上述的关系，在数量上也存在着一定的关系。

【45】仍旧拿图1·24所表示的匀强电场来说，假设 A、B 间的距离为 l，电势降落为 V（即UA－UB）。那么当正电荷 q 从 A 点移到 B 点时，电场力所作的功可以用两个不同的等式来表示：，和 。

【46】式中的 F 表示作用在电荷 q 上的电场力。根据上面两个等式，我们可以看出：  。

【47】这一等式说明：在匀强电场里，两点间的电势差等于电场强度和两点在场强方向的距离的乘积。

【48】在匀强电场里，我们称两点间的电势差 V 和沿场强方向的距离 l 的比（即V/l）为匀强电场的电势梯度，或称为匀强电场的电势陡度。把上面的等式变换为，我们就可以作出这样一个结论：电场强度等于电势梯度，并指意向电势降落的方向。

【49】理论可以证明，最后这一个结论，不仅对匀强电场适用，而且对任何别种电场也都适用。但由于电势梯度，除匀强电场之外，一般都不等于 V/l，所以上面的等式只对匀强电场适用，对别种电场都不适用。

【50】在厘米·克·秒制静电单位系中，电势梯度的单位为 静伏/厘米。匀强电场的电势梯度在数值上等于沿场强方向相隔 1 厘米两点间的电势差的静伏数。

习题1-7(3)

1、在匀强电场中，在场强的方向上依次排列 A、B、C 三点，A、B 的距离是 4 厘米，B、C 的距离是 6 厘米。A 点的电势最高。设场强 E＝0.5静电系单位（达因/静库），求电势差VAB、VBC和VCA  。【2静伏，3静伏，－5静伏】

2、在电场里，电势沿什么方向降落？沿什么方向升高？匀强电场的电势梯度等于什么？电场强度和电势梯度之间有怎样的关系？

3、在实际应用中，常用 伏特/厘米 作为电场强度的单位。试证明 1伏特/厘米＝1/300达因/静库。

4、在原子物理学中，常常用电子伏特作为能量的单位。1 电子伏特的能量就是一个电子在通过电势差等于 1 伏特的一段路程上所得到的能量。试证明 1 电子伏特＝1.6×10⁻¹²尔格。