负数、分数、虚数次幂？！探秘乘方扩充的内在规律

一、正整数次幂

　　首先我们先来看看乘方的原始定义：

　　求个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

　　由乘方定义，得

　　将等式右边乘，得

　　运用乘法分配律，得

　　定义，则

二、零次幂

　　想必看到的小伙伴们已经想到了，次幂取决于「」的个数。那么显然对应于个「」的情况：

三、负整数次幂

　　显然，在这种情况下，「」的个数不得不是负的。什么？次数怎么能是负的呢？假设up主的每天买盒奥利奥？这简直是天方夜谭！但假如up主每天卖出盒奥利奥，那就等效于每天买盒奥利奥——因为这个操作会和购买盒奥利奥抵消——即。

　　因此，我们需要一个函数，与个等价。这个函数存在吗？在回答这个问题之前，我们先要明确的关键属性——因为与个等价，因此当套娃进里时——即，「」的总数为，因此。

　　原来如此！就是的反函数！

　　因此，

　　于是就有了

四、分数次幂

　　好家嚯，这也太离谱了！张三把他女友绿了次？那么若要证明张三绿他女友的次数确实是，那么就必须证明，当张三再干这件事，就相当于把他女友绿了次。

　　这在分数次幂问题上亦然。假如相当于个「」，即，那么。显然，。至于为什么我们一般认为，而不是，up主在后面会讲。

五、无理数次幂

　　计算无理数次幂，一般可以用以下两种方法。以为例：

　　用分数求近似

　　由于

　　所以

　　这里算出来的结果，其实是的近似值。

　　套娃

　　定义。那么个就相当于乘了个，即：

　　类似地

　　即

　　那么现在问题来了——假如，那么等于几呢？

　　显然

　　和都会生成个值。但如果结合，把与筛掉，最终就只会保留了一个单一的确定值——。同理，这就是为什么。

六、纯虚数次幂

　　首先，up主先给那些没有听说过虚数的人简单讲解一下复数的概念：

　　而且实际上，虚数是有物理意义的，比如薛定谔方程中就包含虚数单位：

　　这个方程的具体含义，参见：https://zhuanlan.zhihu.com/p/138317164

　　up主之所以列举出这个方程，主要想要说明的是：虚数和分数、无理数一样，都是为了保证运算封闭性而进行的数系扩充，都有物理意义，都是平等的「数」的概念。「虚」数不「虚」。而像四元数这样的，不是为了保证运算封闭性而进行的数系扩充，大多都丧失了很多「数」的固有性质，比如乘法交换律。

　　还是回到之前的乘方扩充技巧：。那么假如会发生什么呢？

　　显然，这意味着

　　经过up主的推导证明，目前已经确定，是唯一满足上述条件的情况。这种证明思想在视频《欧拉公式不是定义出来的！教你跳出解析延拓和链式法则，用新视角解读欧拉公式》中有所体现。然而这里仍有一个遗留问题——目前无法确定等式中个同号，因此up主实际上只能证明出以下公式：

　　而这条公式能满足：，无论中间的加减号取加还是减。

　　然而欧拉的虚数次幂公式，似乎解决了这个问题——他认为

　　而他的证明过程如下：

　　他的过程看不看得懂不重要。最关键的问题是，他默认了一个公式对虚数变量有效：

　　但实际上这个公式仅被证明对实数有效，未被证明对虚数也有效。因此欧拉的证明并不严谨。于是这个问题就被搁置了。

　　然而，欧拉的这个操作给后人埋了一个雷——由于他的虚数次幂证明，很像是定义矩阵指数函数的操作，因此，虚数次幂，经常被某些人误认为是人为定义。然而这只是由于欧拉的推导过程不严谨造成的，我们急需更严谨的证明方法取代它。

　　数学物理学的基础，数学的严谨性直接关乎自然科学体系的完备性。有些人看到了数学中部分地方出现了不严谨的推导，于是便认定整个数学体系是人为定义的、虚无的，而对试图严谨化数学体系的人进行冷嘲热讽。这是一种主观唯心主义思想，违背了马克思主义。