《几何原本》命题1.21【夸克欧氏几何】

命题1.21：

从三角形一边的两个端点到三角形内一点的连线，小于另外的两条边，其夹角大于三角形的顶角

已知：△ABC，点D在△ABC内，BD,CD为点D与端点B,C的连线

求证：BD+CD＜AB+AC，∠BDC＞∠BAC

解：

延长BD交AC于点E

(公设1.2）

证：

∵△ABE中，BE＜AB+AE

（命题1.20）

∴BE+EC＜AB+AC

（公理1.2）

∵△CED中，CD＜EC+ED

（命题1.20）

∴点D到点B,C的连线CD+BD＜BE+EC

（公理1.2）

∴CD+BD＜AB+AC

（隐藏公理）

∵在△CDE中，∠BDC＞∠CED，

在△ABE中，∠CED＞∠BAC

（命题1.16）

∴BD，DC的夹角∠BDC＞∠BAC

(隐藏公理）

证毕

此命题将在命题3.8中被使用

隐藏公理：如果X＜Y，Y＜Z，那么X＜Z。这一性质未被列入本书公理中