数轴上的点与无穷小的关系理解

作者在《数轴是一根连续的直线吗》一文中，对数轴

进行过介绍，数轴不是连续的，而是点与点之间有间隔的：

虽然这个间隔可以任意小，但间隔终归存在。数轴上每个点对应一个数字。

首先明确数学上的点确实没有大小，因为数学理论认为，任意相邻的两个点之间，肯定存在无穷多个其它的点。如果点有大小，这个理论肯定不成立，因为只要有大小，总有塞不下的时候。

正是由于点没有大小，而点与点之间又肯定存在间隔，同时考虑到数学上无穷小比0大，但又比任何一个确定的数字都小的定义，所以我们可以这样假设：

即数轴上每一个点的后面都拖着一个无穷小的尾巴。这样的假设与数学理论不存在矛盾：因为数轴上任意两个点之间的间隔都对应一个确定的数字，而这个无穷小的长度比任意两个相邻点之间的间隔都小。注意上图中的无穷小没有和它右边的点连在一起，以表示Δx比任何一个确定的数字都小的意思。

基于图2，我们可以把图1中数轴上一个个分隔的点，想象成每一个点后面都拖着一个无穷小尾巴的样子。图2的模式，也可以让我们很方便地理解很多微积分中的概念问题。

我们知道，定积分可以用来求曲边梯形的面积：

按照一般教材中的方法，积分的计算分为四步：

1：分割；2：近似；3：求和；4：取极限

本文按照图2的方法，将图3的其中一个梯形重新画在下图：

由于假设每一个Δx区间只和它的左端点相连，因此上图中的Δx区域只有点x对应一个确定的数字，与此相对应，曲线上点f(x)到点d这段弧线内，也只有点f(x)对应一个确定的数字，由此得出结论，上图中的矩形面积f(x)Δx其实是确定的，而不是近似。这其实就是图4中第二步和第四步共同作用的结果。图4中第二步的近似其实是假设点f(x)到点d这段弧线内存在无穷多个其它的点，而第四步取极限就得到上图的结果，也就是每个矩形只包含一个具有对应数值的点x或者点f(x)。

通过分割、求和、取极限之后得到的定积分值，就是曲边梯形的面积：

我们注意到，上式中用的是等号，也就是说，曲边梯形的面积严格等于上式中的极限求和。

但是，我们从上图可以看到，似乎无论怎么接近，蓝色部分的面积与曲边三角形的面积之间，好像永远存在着绿色的差距部分。那为什么取极限之后，这个差距部分就彻底消失了呢？关于这个问题，本文作者在《从高阶无穷小的角度理解积分为什么是精确值》一文中进行了详细介绍。

按照图2的方法，我们也可以很方便地理解变速运动的距离求和问题：

数学上的变速运动，是每个点的速度都在变化，而数学上的点又没有大小。按照图2中的方法，将时间点t0t1t2分别对应图2中的三个点：

那么，通过分割、近似和取极限以后，每个Δt时间段以内，就只剩下一个可以用数字表示的时间点了，因此按照积分方法求出的变速运动的距离是精确值。

简单来说：

1：无穷小就是比数轴上任意相邻的两个点的距离都小。

2：数学上的点本身没有大小，但由于不同的数字之间存在间隔，所以可以将数轴上的点想象为每个点的后面都拖着一个无穷小的尾巴。

3：通过上述方法，可以比较准确地理解积分或者其它问题。