《点集拓扑随笔》如何证明一维区间与N维欧式空间等势？

        基数（cardinal number）是集合论中的概念，它可以理解为一个集合中元素的个数，事实上它是一个集合，这在熊金城老师的《点集拓扑学》第四版中严格的给出了定义（P32）。

        假设你已经知道可数集与不可数集的定义，一个符合直觉的例子是区间与区间应该是等势的，因为他们看起来“长度”是相同的。但是如果问区间与整个实数轴是等势的，你可能就会犯嘀咕。

问题一：证明　

        事实上我们只需要构造这两个集合之间的一一映射，这是由基数的定义决定的。直接构造可能要费点功夫，不如从图形上来考虑，我们只需要构造一个函数，这个函数的定义域与值域分别是这两个区间（当然也可能反过来），函数本身是映射，想要确保是一一的只需要函数本身是单调的即可（参考二次函数与一次函数图形）。有了上面的分析，这里就直接给出一种方式：

不难看出这样一个映射将与一一的对应起来，由此即知二者等势！我们记为

        上面两个区间虽然“长度”不同，但是他们都是一维空间中的。下面继续问如果是一维空间和两维空间该如何去证明他们等势呢？

问题二：证明　

        像一维空间那样直接构造的方法似乎是难以实现的，否则你需要构造一个一维映到二维或者反过来的一一映射，构造这样一个映射很简单（比如定义二维区域中的距离），但是要做到一一映射并不容易！直接证明二者一一对应的路子似乎是行不通的，我们来使用一个工具，

Cantor-Bernstein定理：设X 和Y 是两个集合，如果从 X 到 Y 有一个单射，从 Y 到 X 也有一个单射，那么 X 与 Y 之间有一个一一映射。（熊金城P33）

        直接看似乎跟基数的判断没有关系，但是如果你知道这样一个事实的话或许就会豁然开朗。对于两个集合 A 、B 来说如果能够构造 A 到 B 的一个单射，那么就有

这个结论从基数的概念来看是显然的，因为 B 中的元素至少不会比 A 中的少！我们来重新写一下上述定理。

Cantor-Bernstein定理：如果  与  同时成立，那么就有 

注：就上述定理形式而言与实数的性质类似，这与基数的所代表的含义本身即集合中元素的数量是相吻合的，因为“数量”也是实数。

        有了上述定理不难知道我们只需证明两个方向的不等号即证。注意到 ，显然

我们只需要证明反向的不等式，即构造一个 的单射即可。下面给出证明：

        对分别将  表示成十进制无穷小数：

其中 ，构造一个映射 

显然有 。下证是单射。

由于十进制表示小数是唯一的，不妨假设

，

由映射的定义即知 ，从而是单射。

        再回到开头讲的一维空间中区间与实数轴是等势的，利用同样的构造正切函数的方式可以证明二维区域与 也是等势的。这样一来即可证明

事实上右端项可以是n维欧式空间的基数，这利用上面的证明手段总是可以做到的！