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复旦大学谢启鸿高等代数每周一题[2021A11]参考解答

2021-12-02 16:00 作者:CharlesMa0606 0人读过 | 我要投稿

本文是本人给出的2021年复旦大学谢启鸿高等代数的每周一题[问题2021A11]的解答

题目来自于复旦大学谢启鸿教授在他的博客提供的每周一题练习

（链接：https://www.cnblogs.com/torsor/p/15329047.html）

本文仅供学习交流，如有错误恳请指正！

[问题2021A11]设 $m%5Ctimes%20n$ 矩阵A的秩为r，B是 $m%5Ctimes%20r$ 矩阵，C是 $r%5Ctimes%20n$ 矩阵.证明： $A%3DBC$ 是A的满秩分解当且仅当B的r个列向量是A的n个列向量张成线性空间的一组基，也当且仅当C的r个行向量是A的m个行向量张成线性空间的一组基.

解现在证明下面三个命题相互等价：

(1) $A%3DBC$ 是 $A$ 的满秩分解;

(2)B的r个列向量是A的n个列向量张成线性空间的一组基;

(3)C的r个行向量是A的m个行向量张成线性空间的一组基.

由对称性，只需要证明 $%5Cleft(1%5Cright)$ 与 $%5Cleft(2%5Cright)$ 等价， $%5Cleft(1%5Cright)$ 与 $%5Cleft(3%5Cright)$ 等价类似可得.首先证明 $%5Cleft(1%5Cright)%5CRightarrow%5Cleft(2%5Cright)%3A$

由定义，若 $A%3DBC$ 是 $A$ 的满秩分解，那么 $r%5Cleft(B%5Cright)%3Dr$ ，从而B的r个列向量线性无关，又注意到矩阵乘法的特点，我们不难发现A的列向量都是B的列向量的线性组合，从而B的r个列向量是A的n个列向量张成线性空间的一组基.

接下来证明 $%5Cleft(2%5Cright)%5CRightarrow%5Cleft(1%5Cright)%3A$

因为B的r个列向量是A的n个列向量张成线性空间的一组基，于是我们可以取出一个矩阵C，让C的每一列都是A的对应列在B的r个列向量组成的一组基下的坐标向量，由此C存在.

而 $r%3Dr%5Cleft(A%5Cright)%3Dr%5Cleft(BC%5Cright)%5Cle%20min%5C%7Br%5Cleft(B%5Cright)%2Cr%5Cleft(C%5Cright)%5C%7D%5Cle%20r$

从而 $r%5Cleft(B%5Cright)%3Dr%5Cleft(C%5Cright)%3Dr$ .于是 $A%3DBC$ 是 $A$ 的满秩分解.

从而 $A%3DBC$ 是 $A$ 的满秩分解当且仅当B的r个列向量是A的n个列向量张成线性空间的一组基.

取A转置可以证明C的情况.于是我们得到证明.

$%5BQ.E.D%5D$

注(1)这道题是复旦大学谢启鸿高等代数习题课_哔哩哔哩_bilibili的练习题2，之前已经上传到过我的专栏

(2)文末附上图片格式的解法，有需要的读者可以自行取用，仅供学习交流

问题2021A11

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