集合论

《斯坦福哲学百科全书》将集合论描述为“现代数学最伟大的成就之一”，集合论被广泛认为是由康托尔在1873-1884年间所做的研究所建立的。特别地，集合论的起源可以追溯到康托尔于1874年发表的一篇论文，题为《关于所有实数集合的性质》。它提出的最基本和最重要的结果是实数的不可数性。

在短短的五页里，康托的论文提出了三个重要的结果：

实代数数的集合是可数的；

在每一个区间[a,b]中都有无穷多个不包含在任何数列中的数，结果就是

实数的集合是无穷无尽的。

本文的其余部分将致力于解释第三个结果的含义，即实数的不可数性。为此，我们先从几个基本概念开始。

什么是集合？

集合是元素的集合。由3、4、5组成的集合用{3、4、5}表示。

可数性

可数集合是指具有与自然数集合的某个子集相同基数的集合。

可数性是集合论中的一个重要性质。可数性的直观解释是“列表性”，即集合的元素可以写在一个列表中。最固有的可数集合是自然数集，因为的元素是计数数本身。我们知道，它们在数量上是无限的，所以称为可数无限。对于其他集合，形式上，声明一个集合是可数的，意味着集合的元素可以与自然数集合的元素一一对应，即：

如果存在从S到自然数={1,2,3，…}的内射函数f，则集合S是可数的。如果能找到这样一个f也是满射，则S被称为可数无限集，或可数集。

例如偶数集合(2n|n∈)：

我们看到两个集合的元素可以一一对应，因此我们可以确定偶数集合也是可数的。

可数性使我们可以根据集合所包含的元素的数量来进行比较，而不需要实际计算任何东西，并通过这种方式来推断有限集和无限集的相对大小。从实际考虑，让我们想象一个有100个座位的教室来说明这个有限的情况。如果教室里挤满了学生，我们就可以推断出学生的数量与座位数量的关系。如果座位是空的，座位集要比学生集大。如果没有空座，有的学生还站着，则学生的集大小要大于座位集的大小。

有理数的可数性（1873）

康托尔首次发表关于集合可数性的研究是在1873年，当时他证明了有理数是可数的。他的证明相当优雅和直观：

让我们首先提出，这组有理数是可数的。为了证明这个命题，让我们把所有有理数排列在一个无限表中：

然后，从左上角开始，从左到右45度移动对角线，从1/1开始，然后是1/2和2/1，然后是3/1，2/2和1/3，以此类推。写下遇到的每一个新数。

它不仅是有序的，而且与自然数的自然顺序一一对应。这证明了有理数的可数性。

实代数数的可数性（1874）

一年后，在他1884年的论文中，康托尔证明了实代数数是可数的。实数代数数是实数ω，满足如下公式，a ω + aω + … + a= 0。也就是说，实代数数是非零实多项式的根。它们是可数的，即：

所有代数实数的集合可以写成一个无穷数列。

康托尔在他1874年的论文中证明了这一点：

实代数数可数性的证明（1874）

对于每一个多项式方程的形式

系数为a的整数，定义它的指数为系数的绝对值加上方程的次数之和：

指数2的唯一方程是ω = 0，所以它的解0是第一个代数数。指数3的四个方程是2x = 0，x + 1 = 0， x - 1 = 0, x2 = 0。它们的根是0、-1、1，所以他把新值-1和1作为他的代数数列表中的第二项和第三项。

注意，对于每个指数，只有有限的方程，每个方程也只有有限的根。根据指数的顺序和在每个指数内增加数量级来列出新根，这样就建立了列出所有代数数的系统方法。和有理数一样，与自然数的一一对应证明了代数数的集合必须是具有可数性的无穷。

实数的不可数性

康托将可数性作为一个概念的最富有成效的运用出现在他1874年论文的第三个结果中，他证明了实数的不可数性。实数是一个连续的值，可以表示一条直线上的距离。任何实数都可以用无限小数表示出来，例如8.632、0.00001、10.1等等，其中每个连续数字都以前一个数字的十分之一为单位来计算。实数不可数的表述等价于：

给定任意实数序列和任意区间[α ... β]，可以在[α ... β]中确定一个数η，η不属于给定的实数序列，因此，我们可以在[α ... β]中确定无穷多个这样的数η数。

他最初的证明（康托的第一个不可数性证明）是这样的，基于博尔扎诺-韦斯特拉斯定理：

实数不可数性的证明：

假设我们有一个无穷实数数列，

这个数列是随机生成，而且数字之间互不相同。那么，在任意给定区间(α ... β)内，可以确定一个数η，使其不出现在数列(i)中，这样的η是无穷多的。

序列(i)的前两个数位于这个区间的内部（边界除外），可指定为α'， β'，让α' < β'。让我们指定数列(α' ... β')的前两个数α"， β"并且α" < β"。同样地，构造下一个区间，以此类推。

因此，根据定义，α', α" ...是序列(i)的确定数，其指数是递增的。序列β'， β"， ...也是如此。此外，数列α'， α"…总是增加的，而数列β'， β"，…总在减小。

在第一种情况下，这样形成的间隔的数目是有限的。在这种情况下，让最后一个是（α…β）。因为它的内部最多可以是序列(i)中的一个数，所以可以从这个区间中选择一个不包含在(i)中的数η，从而证明了定理。

在第二种情况下，构造区间的数目是无限的。那么，因为它们总是在不断地增大，而不是无限地增大，所以这些数α， α'， α'，…有一个确定的边界值α。同样适用于数字β， β'， β"，…因为它们总是在变小。设其边值为β。如果α= β，η = α= β不能包含在我们的序列(i)中。然而，如果α< β，然后区间[α ... β]内的所有η值以及它的边界满足它不包含在序列(i)中的要求。

无限集

我反对使用无穷量级作为完成的东西，这在数学中是不允许的。无限只是一种说法——高斯，1831年

到目前为止，我们遇到的所有集合的元素都是无限的，这意味着它们会无限延伸。然而，我们也证明了它们的“大小”是不一样的，或者至少，它不能与自然数一一对应。也许更矛盾的是，我们已经看到无穷集（自然数）的无穷子集（例如偶数）可以变成一对一的对应关系，这就产生了无穷集的一个特殊性质，即：

集合A是无限的，当且仅当，A和集合X之间存在一一对应并且X是A的一个真子集

这个由戴德金创造的特性，看起来似乎是自相矛盾的，因为直觉上认为一个整体的元素总比它的某些部分的元素多。这意味着，如果两个无限集包含相同数量的元素，那么：

它们之间一一对应；

任何整体的大小必须大于它的任何部分的大小；

那么，一个无限集合中的元素的数量就不能被认为是它大小的度量。它表明无限集合的元素在某种意义上“数不胜数”，考虑到你永远不可能把它们全部数出来，也因为在这个领域用数字来衡量大小的概念没有什么意义，如果一一对应表示集合的大小是相同的，那么所有的无穷集似乎都是相同的。

基数

那么我们该如何研究无穷集的性质和差异呢？1874年，康托尔发现了不可数无限集的存在性。1878年，康托尔开始了一项更广泛的研究，他称之为基数，即集合的大小。集合A的基数通常用|A|表示，有时用card(A)表示。

康托尔对基数的定义

我们可以称之为“幂”"或"基数"，因为我们的思维能力，从集合M中抽象出各种元素的性质和它们所被赋予的次序，便产生了一般的概念。

或者更简单地说，基数是用于度量集合大小的自然数的泛化。利用基数性，康托尔能够正式回答他反复问戴德金的问题，即一个正方形是否可以映射到一条直线上，每条直线上的点是一一对应的，即：

定理：所有实数有序对（即实平面）集合的大小与相同。

这个定理出现于康托1878年的论文《A contribution to manifold theory》，并且可以用以下方式优雅地证明：

证明|| = ||

证明所有点（x，y）（0 < x，y < 1）的集合可以双射映射到(0,1]上。考虑点（x，y）并将x,y写成其唯一的十进制数形式，示例如下：

请注意，x和y的数字被分成了组，总是指向下一个非零数字。现在我们把数字z∈（0,1）与（x，y）联系起来，写下第一个x群组，然后是第一个y群组，然后是第二个x群组，以此类推。因此，在我们的例子中，我们得到：

由于x和y从某一点开始都不为零，我们发现z的表达式仍然是一个不终止的小数展开。从z的展开，我们可以立即读出原像(x,y)，并且映射是双射的。

所以，再次矛盾的是，二维平面确实可以双向（一对一对应）映射到一维直线上。归纳地说，我们可以把结果扩展到更高的维度。它违反直觉的本质导致康托著名地宣布：

我证明了它，但我仍然无法相信。

无限的基数

当康托在1878年转而研究无穷基数时，他已经意识到存在着两种这样的“幂”，点集（如自然数）和连续体（如实数）。在他1883年的论文《Foundations of a General Theory of Manifolds》中，他介绍了两个无穷之间的区别，超限的和绝对的：

超限数是指“无限”的数，因为它们比所有有限数都大，但不一定是绝对无限的。

同样由康托提出的绝对无限ω，可以认为是一个比任何可以想象或不可想象的有限或超限的量都大的数。超限的数在量上是可增加的，而绝对是不可增加的。他所想到的特殊的超限数，是他通过研究某些无穷集的可数性（如自然数）和其他无穷集的不可数性(如实数)而意识到的。他分别把它们的基数和标记为前两个“无穷大数列”，都小于绝对无穷大ω。