每日一题2023.6.10

2023-06-10 21:47 作者:math-amateur 0人读过 | 我要投稿

嗯，今天就分享一个很有意思的题目：

在单位正方形内有一条不自交的折线，长度不少于2t(t>=3)，证明：存在一条与正方形边平行的直线，它与折线有不少于t+1个交点

证明：

首先我们注意到可将不少于2t改为恰好2t

我们设这条折线由n条线段构成，记为 $l_%7B1%7D%2C%20l_%7B2%7D%2C...%2C%20l_%7Bn%7D%2C%20$

其中 $l_%7Bi%7D$ 的长度记为 $d_%7Bi%7D%20$ ,并设 $l_%7Bi%7D$ 到正方形两边投影长分别为 $a_%7Bi%7D%20%2Cb_%7Bi%7D$ ,

那么我们有：

$2t%5Cleq%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enl_%7Bi%7D%20%5Cleq%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ena_%7Bi%7D%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enb_%7Bi%7D$ ,

故 $%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ena_%7Bi%7D$ 与 $%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enb_%7Bi%7D$ 中有一个不小于t,不妨设 $%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ena_%7Bi%7D%5Cgeq%20t$

采用反证法:

假设题目结论不成立，即不论怎样与正方形边平行的直线与折线至多只有t个交点

那么我们有：

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ena_%7Bi%7D%5Cleq%20t$ ,结合 $%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ena_%7Bi%7D%5Cgeq%20t$ 知 $%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ena_%7Bi%7D%3Dt$

同理知 $%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enb_%7Bi%7D%3Dt$ ,等号成立时当且仅当折线的线段均为平行于正方形边的线段，且长度为1

易知这与t>=3矛盾！

故结论成立，证毕！

标签：

每日一题2023.6.10的评论 (共条)