什么是纯扩域

       什么是纯扩域？“纯”是一个形容词，形容后面的词语“扩域”。什么是扩域？“扩”是一个动词，作用在后面的“域”上，那什么是域呢？

        域是一个数学概念，如果有一堆数，这些数之间任意有限加减乘除的结果还在这堆数内(当然，除数不能为零)，那么，这些数被称作一个数域。

         顺便提一句，如果一些东西在某运算后的结果仍在这些东西内。我们就称这些东西对某运算封闭。例如，上面的表述可以写成：数域是对加减乘除封闭的数集。

        跑题了，我们接着讲。首先，有理数就是一个数域，任意有理数有限加减乘除肯定蹦不出个根号2。实数自然也是。但是，整数不属于数域，例如3除以2，结果就是分数，不是整数。

         事实上，有理数域是所有数域中最小的，实数就要大一些，那就有一个问题出现了，有没有比有理数域大，比实数域小的数域呢？

         是有的！例如由形如a+b√2的数(其中a,b都是有理数) 组成的数域，很明显它比有理数大，比实数小，那它是否为域呢？加减很好说，乘除呢，也是一样，你们可以验算一下，这里就给出乘法的结果。

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        好，既然它是一个域，而且是从有理数中加入√2扩充而来的，如果有理数域记做Q，我们就把它记为Q(√2)。并把这种扩充叫做扩域。

        实际上， 不光√2，像√3，√5，乃至三次根2，四次根2.......等等等等，在有理数域中加入这样的数依然可以构成域，也是一个扩域。

        讲到这，纯扩域的定义也就呼之欲出了：把一个数域中的某个数开n次方，且得到的数不属于原来的域(防止类似√4＝2的情况导致原域不变)，那么把加入这样的数形成的扩域称为n次纯扩域。

        纯扩域可以应用到方程上，例如，所谓根式可解，就可以理解成方程的根所在的域在方程系数的域不断纯扩域的结果里。这可以解释为啥方程的根是根号套根号的形式，历史上，伽罗瓦就是通过这种方式探到了五次方程不可解的奥秘，这里就不细谈了。

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