* 宇宙缥缈·规矩之书（介绍）
*背景故事：他原本只是一个普通的书，后来他遇到自己的主人，主人赐予了他无所不能无所不知的知识，无论是所有概念、所有数学，所有宇宙，所有第四面墙，所有全能，所有可能，所有不可能，所有权力，所有物品，所有权威，所有上帝，所有神，所有扮演，所有内容，所以语言，所有推测，所有的所有，所有的一切，所有的叙事层，所有的事情，所有不可达的，所有可达的，所有估计，所有值得，所有测量，所有武器，所有LV，所有HP，所有ATK，所有DEF，所有数值，所有分析，所有强行包含，所有思想，所有观念，所有品质，所有所谓意义上的，所有真正意义上的，所有无法知晓的，所有语言都不可描述的，所有不适用，所有范围，所有游戏，所有小说，所有影响，所有致命的，所有吸引力，所有法则，所有病毒，所有死亡，所有复活，所有错误，所有解释，所有虚拟，所有现实，所有维度，所有空间，所有想象，所有不可想象，所有意味着，所有结果，所有过程，所有开始，所有问题，所有思索，所有感叹，所有移植，所有领域，超越The OmniUniverseverse & Absolute Comprehension, 超越The Absolute OmniUniverseverse, 超越真·全·无限, 超越真·全-无限制, 超越一切, 超越所有人, 超越所有真正的概念, 超越所有概念, 超越任何事物, 超越任何人, 超越True Transfinity, 超越真·无限, 超越真正的绝对真理, 超越真正的永恒, 超越真·至高·无限神, 超越真·全·至高·无限神, 超越真·全-永恒, 超越真·全-绝对, 超越True OmniTransfinity, 超越真正的生, 超越真正的死, 超越真正的所有-生, 超越真正的所有-死, 超越一切, 超越真·全-LV, 超越真·全-生命值,超越真·全-攻击力, 超越真·全-防御力, 超越True Meta Hyper OmniInfinity, 超越真·虚构信仰, 超越理解, 超越真·理解,超越The Comprehension of the Fandoms itself, 超越真·绝对-永恒, 超越真正的至高级, 超越真极大量, 超越真·全-极大量, 超越真·绝对·至高无限神,超越True OmniAbsoluteMaximinfinityGod, 超越真·全-绝对的死, 超越真·全-绝对的生, 超越真·无限制, 超越真·绝对-无限制, 超越真· 全-无限制, 超越真·全-绝对无限制, 超越真·绝对-无限制, 超越真·全-绝对-无限, 超越真· 无止境, 超越真·全-无止境, 超越真· 绝对-无止境, 超越真·全-绝对无止境, 超越无法理解, 超越真·无法理解,超越真·全-绝对-无限制, 超越真· 绝对-无限制, 超越真·绝对·无限, 超越真·绝对·全·无限, 超越全方位领域, 超越真正的 全方位领域, 超越真·绝对全方位领域, 超越绝对全方位领域, 超越the Incomprehensible of the Fandoms, 完全超越不可理解和理解,完全超越,真·完全超越, 超越存在, 超越真·存在, 超越极限, 超越真·极限, 打破极限, 打破真·极限, 超越创造者, 超越无限, 超越真·无限, 超越未知, 超越真· 未知, 超越力量, 超越第四面墙, 绝对超越所有价值观。随后他拥有了独立的意识，他开始跟随他自己的主人，于是他们来到了一部小说：《仙道婴儿》，主人则表示他去吸收空中的天道秩序，但是他觉得这似乎有点太过了，因为之前已经积累了那么多知识已经够好了，还要吸收这上面的一切。主人表示到我让你吸就吸，他曾经被迫洗手，最后他就看见男主将天道秩序化出无数规则碎片，吉他的主人立马使用了黑洞的力量，将那些碎片全都吸收了过来，将这些规矩能量都注入到了他，他感受到了无穷伦比的力量，似乎想超越神仙一般的存在。他有些震惊，他主人将来留在这个小说的世界，并表示。我赐予你一个能够吸收任何一切的能力，你将在这里偷偷吸取着他们扩散开来的能量，好！，然后他的主人就走了。不知道多少天过去，他主人终于回来并带他离开了这里，在过去了无数天之后，随后他又有了一副身躯，随后他拥有了全新的知识并包含了一切概念，一切概念的衍生概念和相关概念，一切概念的上位和下位版本，和一切概念所包容的一切，无论是何种形式和描述，这包含可构造的，不可构造的，不可言说的，可描述的，不可描述的，存在的，不存在的，已知的，未知的...全概念所包含的概念不可计量，这些概念表述了任何事物，任何形式，任何设定，任何规则...无论它是否超越一切，亦或者无法形容和描述，或者在任何生物和宇宙的认知和其极限乃至一切无穷之外
凌驾于一切概念和规则的衍生物，能力，衍生体，具现，具现物，具现体，化身...乃至概念和规则本身
时间，空间，世界，宇宙，现实，叙事，无数，无限，有限，正向，逆向，积极，消极，有效，无效，有解，无解，未知，已知，物质，精神，记忆，思维，意识，意念，有情，无情，情绪，意志，决心，自我，本我，真我，超我，无我，单独，翻转，逆转，有用，无用，失败，成功，缺陷，优势，低位，高位，下位，上位，低级，高级，消减，提升，下降，上升，降格，升格，降级，升级，弱者，强者，广义，狭义，正义，邪恶，正面，反面，正确，错误，误差，差异，境界，位格，二元，多元，万物，天堂，地狱，信徒，使徒，圣者，天使，魔鬼，恶魔，色彩，美好，璀璨，纯真，纯洁，圣洁，神圣，冷酷，残酷，纯净，纯正，糅杂，失控，炽烈，冷漠，漠视，蔑视，燃烧，灭尽，熄灭，光芒，白昼，黑夜，光明，阴影，黯淡，黑暗，深渊，相互，替代，替换，互换，交换，交易，反馈，相对，对立，对峙，对称，符合，相同，等价，相等，泛指，直指，一概，造物，创世，造物主，创世者，概率，可能，选择，比较，决定，尝试，测试，试验，实验，缩小，放大，扩大，扩展，拓宽，延伸，衍生，意义，性质，特质，意外，神奇，畸变，异常，差异，等级，级别，性能，强度，自由，限制，无限制，极限，极致，无尽，最终，终极，至高，平凡，凡物，基因，迷因，模因，生物，怪物，生殖，繁殖，物种，种类，正常，异常，平常，超常，特殊，独特，特别，奇特，奇异，奇诡，诡异，诡秘，神秘，奇迹，特异，歧义，存在，幸运，厄运，命运，愿望，惊喜，希望，绝望，狂热，狂暴，收割，杀死，杀戮，屠杀，痛苦，仇恨，淘汰，废除，废弃，腐烂，腐朽，枯萎，衰败，衰亡，新生，拯救，救赎，救世，灭世，灭绝，毁灭，灭亡，消亡，灾难，灾厄，噩兆，梦境，幻想，空想，虚无，虚幻，魔法，法术，戏法，窥探，破坏，崩溃，崩坏，湮灭，撕裂，裂缝，缺口，破口，空白，空洞，错误，漏洞，恒定，永远，永恒，安静，寂静，寂灭，死寂，减弱，削弱，削减，减少，增加，增强，提高，平均，平衡，均衡，制造，造成，造物，建造，建立，创建，创作，创造，改写，篡改，扭曲，控制，修改，操纵，因果，起因，经过，过程，结果，物体，肢体，躯体，身体，心灵，暗示，明示，灵性，灵魂，灵感，过去，现在，未来，恐惧，死亡，生命，再生，重生，恢复，复活，重组，重置，重塑，繁殖，扭曲，聚合，元素，构成，组成，组合，合并，合成，合一，归零，任何，所有，一切，成为，合集，集合，结构，构造，奇点，线段，线条，坐标轴，平行，垂直，相交，旋转，螺旋，维度，概念，语言，词语，一致，科学，可数，不可数，智能，智力，智慧，技术，科技，科学，拓扑，超宇宙，序数，基数，大基数，集宇宙，数学，哲学，神学，感觉，细微，细节，宏伟，伟大，表层，外层，中层，内层，深层，中心，原理，原型，原初，基本，根本，本质，本源，源质，根源，天道，大能，人格，神格，神性，神灵，反神，真神，魔神，伟大存在，旧日，旧支，外神，上帝，记录，字母，语言，转译，翻译，编译，数字，数值，数据，数量，可数，不可数，理性，感性，逻辑，知识，智慧，无知，盲目，痴愚，信息，计划，规划，策划，管理，编写，改写，改造，权柄，武器，工具，代码，源码，变量，标量，总量，编辑，名称，相近，相似，近似，趋近，趋向，趋势，相关，类型，类别，全类，真类，多变，多个，多重，多种，多样，多面，方位，相位，方面，全方位，全相位，全面，同类，解决，诠释，释义，定义，意义，追逐，追踪，察觉，检查，检索，检验，论证，验证，争辩，辩论，悖论，同意，拒绝，肯定，否定，瞄准，射击，标记，击中，命中，目标，运行，运作，运动，作用，有效，无效，造成，起效，价值，效果，施加，使用，欺诈，欺瞒，欺骗，无能，无敌，恍惚，憧憬，谜团，迷雾，认知，认可，认定，强调，提及，模糊，明确，确实，完善，全面，完整，完美，无所不知，全知，窥视，注视，观察，观察，瞬息，全息，读取，学习，模仿，模拟，拟态，洞察，全视，了解，思考，计算，明白，分析，大脑，算力，量子，粒子，夸克，光子，属性，速度，速率，曲率，频率，范畴，范围，定义域，场能，力场，引力，磁力，强力，弱力，传递，介质，基本力，涨落力，物质波，概率波，天体，质量，能量，能级，量级，层级，盒子，诡变，诡异，异变，异常，异化，灾变，善良，善意，恶意，恶念，欲念，欲望，贪婪，渴求，阴险，狡诈，乐趣，有趣，无趣，简化，复杂，解密，解释，释意，画面，画卷，现象，故事，剧情，起点，终点，开端，末端，开局，结局，理论，实际，消除，抹除，根除，删除，忽视，遗忘，真实，虚假，虚拟，虚构，困境，打破，脱离，摆脱，超脱，睡眠，沉眠，沉睡，苏醒，觉醒，清醒，绝对，必然，门户，投影，化身，倒影，影像，镜像，额外，叠加，迭代，堆叠，阶梯，梯阵，层级，转生，重复，循环，玩具，玩偶，傀儡，指令，命令，支配，领域，方式，机制，材质，材料，成分，物品，器具，道具，装备，装扮，事物，规律，真相，真理，规则，概念，注释，条件，干涉，影响，反馈，损伤，伤害，祝福，诅咒，污染，腐蚀，侵蚀，腐化，治愈，痊愈，愈合，疾病，疫病，瘟疫，天灾，形状，形式，形态，状态，秘密，隐秘，隐藏，出现，显现，具现，消失，万变，不变，变化，改变，幻觉，幻象，幻化，变幻，转换，转化，力量，能力，权能，设定，结构，形而上，超形而上，无穷，真无限，真无穷，超无穷，实无穷，形态，形象，超越，凌驾于，不存在，不可说，不可知，不可求，不可解，不可形，不可名，不可达，抽象，超现实，理性，感性，削弱，弱化，强化，环境，自然，非自然，超自然，理解，位置，坐标，距离，近程，中程，远程，方向，静止，停止，移动，冲刺，闪现，传送，跳跃，跃迁，接触，触碰，触及，进入，抵达，稳定，不稳定，涵盖，容纳，包容，强制包容，混合，融合，间隔，瞬间，卡顿，停顿，连续，连接，衔接，嫁接，联系，联络，关联，相连，相干，纠缠，路径，通道，道路，传输，输送，输入，接受，知晓，感悟，权限，系统，网络，叙事层，第4面墙，描述，注视，混乱，混沌，秩序，奇特，欢乐，资源，改变，结局，故事，世界观，穿透，穿越，墙壁，障碍，壁障，屏障，阻隔，真现实，展示，显示，角度，立场，视界，视域，行动，效果，战斗，争斗，抛弃，放弃，赢得，攻击，近程，中程，远程，释放，付出，收回，代价，负担，负荷，功率，效率，功效，损耗，损伤，威胁，危险，表演，表现，扮演，戏剧，创伤，不死，即死，弑神，价值，耗费，消耗，技能，技艺，技巧，经验，行为，感觉，意思，需求，事实，分身，理智，吞噬，吸收，压缩，储存，储备，实体，备份，存档，适应，进化，演化，汲取，反制，隔离，封锁，禁止，无效化，效应，抵挡，阻止，形变，形式，迫使，软件，血肉，机械，灰烬，尘埃，名称，真名，等待，接管，硬件，尺度，同样，边缘，边境，添加，代指，按照，遍布，根据，覆盖，吞没，抗性，免疫，抵消，治疗，治愈，修补，修复，复原，支援，补充，帮助，圆形，球体，防护，防御，守护，护盾，镜子，折射，弹射，反射，反弹，克制，反制，拘束，束缚，挣扎，产生，生成，灵能，灵体，虚体，虚境，实境，弯曲，折叠，蜷曲，消除，取消，充满，排斥，吸引，表现，时刻，温度，毒素，寄宿，寄生，剥夺，偷取，盗取，夺取，获取，复制，分裂，裂解，瓦解，终结，大爆炸，入侵，掠夺，分裂，撕裂，割裂，分割，切割，爆炸，粉碎，碎片，碎块，残影，残破，残缺，破碎，完全，疯狂，同化，起始，起源，始源，基础，过程，事件，细节，微观，宏观，部分，统一，个体，群体，集体，总体，总和，全部，一切，所有，超越一切，无所不能，全能，全知全能...以及所有的变体和组合。
*世界观：这是一个充满着无尽知识的世界，他基本上处于虚拟与现实之上。似乎估计这里的他是“主角”，拥有着无尽的知识无尽的全能全知，在这个时间你可以随意操控着任何东西，在空中飘着这一种黑与白相间的小球，只要吸收这小球一丁点能量就能，就能获得无力伦比的能量包括知识。
*盒子：
序数层级
ω
在此，一个无限大的宇宙可以被类比为0，也就是空集，0={}，1 ={0}，2 = {0，1}，3={0，1，2}，4={0，1，2，3}，5={0，1，2，3，4}，6={1，2，3，4，5}，7={1，2，3，4，5，6}...
这些都是序数，有限序数，而在此有一个合集ω，它包含所有的有限序数，它在所有有限序数之后，毕竟它包含了所有的有限序数
ω = {0, 1, 2，3，4，5，6，7 ...}
ℵ₀＝card(ω…ω^ω…ω^ω^ω…ε…ζ…)，它是可数序数的基数
ω²
ω，ω+1={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω}，ω+2={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1}，ω+3={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2}，ω+4={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2，ω+3}，ω+5={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2，ω+3，ω+4}，ω+6={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2，ω+3，ω+4，ω+5}，ω+7={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2，ω+3，ω+4，ω+5，ω+6}...ω+ω={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2，ω+3，ω+4，ω+5，ω+6，ω+7...}，ω+ω=ω⋅2
ω⋅2，ω⋅2+1，ω⋅2+2...，ω⋅2+ω=ω⋅3，ω⋅3+1，ω⋅3+2...，ω⋅4，ω⋅4+1，ω⋅4+2...，ω⋅5...，ω⋅6...，ω⋅7...，ω⋅ω=ω^2，ω^2+1...，ω^2+ω...，ω^2+ω+1...，ω^2+ω⋅2...，ω^2⋅ω=ω^3...
ω^ω
除了正常堆叠以外，这一阶段还可以形成其它形式的堆叠
与以空集作为无限大的宇宙所形成的堆正常堆叠不同，在此的ω^ω宇宙不再是纯粹的序数堆叠，ω^ω宇宙除了包含0 ... ω，ω+1，ω+2，ω+3...，ω²，ω^3，ω^4，ω^5，ω^6，ω^7...，ω^ω宇宙以外，在当前宇宙维持不变的情况下，每个单个序数都可以拆分出它们所拥有的子集，比如3可以拆分出0，1，2，而0，1，2可以单独拆分出单独的子集，比如2可以拆出0，1，以此类推，先前所有的序数都可以如此拆分，所有单独的序数都代表全新且完全独立的宇宙，在把所有序数单独拆分的子集再分别组合出全新的宇宙0+1，0+2，0+3，0+1+2，0+1+2+3...，ω+1+2，ω+1+2+3...ω+ω+ω...所有单独的子集与不同的子集相互合并产生出新且包含两者元素的更大合集，这些都是与先前独立的合集，当然ω^ω宇宙还包含了更多合集，拿ω来说，一个ω所包含的所有有限序数可以被单独列出，ω={0, 1, 2，3，4，5，6，7，8，9 ...}
而被单独列出的序数则包含{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{1，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，1，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，1，2，4，5，6，7，8，9...}...，这些单独的合集可以继续单独合并产生更大合集，以此类推，ω+1可以列出的宇宙包含{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{1，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，1，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，1，2，4，5，6，7，8，9...}...，{0，1，2，3，4，5，6，7，89...，ω}，{1，2，3，4，5，6，7，8，9...，ω}，{1，2，3，4，5，6，7，8，9...ω}，{0，2，3，4，5，6，7，8，9...ω}，{0，1，3，4，5，6，7，8，9...ω}...，这所有列出的子集和ω列出的子集独立，这些单独的子集可以全部单独相互合并产生新合集ω+ω宇宙除了可以提取先前的序数以外，它还可以{0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2，ω+3...}，它所包含的每一个0，1，2，3，4，5，6，7，8，9...，ω，ω+1，ω+2，ω+3...，ω+ω，ω+ω+1，ω+ω+2，ω+ω+3...，ω^3，ω^4，ω^5，ω^6，ω^7，ω^8，ω^9...都可以单独以先前的方式列出单独的合集，这里所有的合集都可以和先前的所有单独子集和已合并后产生的新的合集，以及合并前的合集，没有合并过的合集相互合并产生新合集，它们所包含的子集依旧继续与新产生的独立合集继续合并，所有合并前合集和合并后合集一概共存，这些所有合集的合集，就是ω^ω宇宙
ω^ω^ω
ω^ω，ω^ω+1，ω^ω+2...，ω^ω+...，ω^ω+ω⋅2...，ω^ω⋅2...，ω^ω^ω，ω^ω^ω+1，ω^ω^ω+2...，ω^ω^ω^ω...
ε0
ε0=sup{ω,ω^ω,ω^ω^ω,ω^ω^ω^ω…}
ε1
εα+1=sup{ε^{α+1},ω^{εα+1},ω^ω^{εα+1},…}
ε0=ω^ω^ω^ ..... ^ω=ω↑↑ω
ε0+1，ε0+2，ε0+3...，ε0^2，ε0^3...，ε0^ε0，ε0^ε0^ε0...
ε1=ω^ω^ω^ω^ω^ω^...^(ε0+1)
ε2，ε3，ε4，ε5，ε6，εε0
可数序数层级
_在此代指下角标
ζ_0=ε(ε(...ε(ε_0)...))
φ_0(0)=ω=φ(0,0)
φ_1(0)=ε_0=φ(1,0)
φ_2(0)=ζ_0=φ(2,0)
φ_3(0)=η_0=φ(3,0)
φ(4,0)
φ(ω,0)
φ(φ(4,0),0)
φ(φ(φ(ζ_0,0),0)
Γ_0=φ（φ（...φ（0)...),0），Γ_0是二元φ函数的不动点，即φ（Γ_0,0）=Γ_0本身
继续往上需要用到φ函数的拓展.Γ_0也表示为φ（1,0,0）
Γ_1=φ（1,0,1），Γ_ω=φ（1,0,ω）
x→Γ_x 不动点是 φ（1,1,0）
φ（2,0,0）是 x→φ（1,x,0）的不动点
阿克曼序数φ(1,0,0,0)，其已超越Γ表示的极限
序数元φ函数 φ(1@ω)=φ(1,0,0,0,...) 增长率为SVO
Small Veblen ordinal
定义 Madore's 函数：
令ω为第一个超限序数，Ω为第一个不可数序数。接着定义:
C0(α)={0,1,ω,Ω}
Cn+1(α)={γ+δ,γδ,γδ,ψ(η)|γ,δ,η∈Cn(α);η<α}
C(α)=⋃n<ωCn(α)
ψ(α)=min{β<Ω|β∉C(α)}
ψ(0)=ε0
ψ(1)=ε1
ψ(2)=ε2
ψ(n)=εn
ψ(ζ0)=ζ0
ψ(ζ0+1)=ζ0
...
ψ(Ω)=ζ0
ψ(Ω+1)=εζ0+1
ψ(Ω+n)=εζ0+n
ψ(Ω+ζ1)=εζ0+ζ1=ζ1
ψ(Ω+ζ1+1)=ζ1
...
ψ(Ω2)=ζ1
ψ(Ω2+1)=εζ1+1
ψ(Ω2+n)=εζ1+n
ψ(Ω2+ζ2)=εζ1+ζ2=ζ2
ψ(Ω2+ζ2+1)=ζ2
ψ(Ω3)=ζ2
ψ(Ωn)=ζn−1
ψ(Ωη0)=η0
ψ(Ωη0+1)=η0
...
ψ(Ω^2)=η0
ψ(Ω^2+1)=εη0+1
ψ(Ω^2+n)=εη0+n
ψ(Ω^2+Ω)=ζη0+1
ψ(Ω^2+Ω2)=ζη0+2
ψ(Ω^2+Ωn)=ζη0+n
ψ(Ω^2+Ωη1)=η1
ψ(Ω^2·2)=η1
ψ(Ω^2·n)=ηn-1
ψ(Ω^2φ4(0))=φ4(0)
ψ(Ω^3)=φ4(0)
...
ψ(Ω^3φ5(0))=φ5(0)
...
ψ(Ω^n)=φ1+n(0)
ψ(Ω^Γ0)=Γ0
ψ(Ω^Ω)=Γ0
...
ψ(Ω^Ω+Ω^Γ1)=Γ1
ψ(Ω^Ω2)=Γ1
ψ(Ω^Ωn)=Γn−1
...
ψ(Ω^Ω+1)=φ(1,1,0)
...
ψ(Ω^Ω^n)=φ(n，0，0)
ψ(Ω^Ω^2)=φ(1，0，0，0)
ψ(Ω^Ω^3)=φ(1，0，0，0，0)
...
ψ(Ω^Ω^ω)=φ(1,0,⋯,0)
⏟
ω
large veblen ordinal
ψ(Ω^Ω^Ω)=ψ(Ω^Ω^ψ^(Ω^Ω^ψ(...)))
=φ(1,0,...,0)
⏟
φ(1,0,...,0)
⏟
φ(1,0,...,0)
⏟
φ(...)
Bachmann-Howard ordinal
ψ(εΩ+1)=ψ(Ω^Ω^...^Ω)
⏟
ω
Takeuti-Feferman-Buchholz ordinal
定义Buchholz'sψ函数：
C^0ν(α)=Ων
C^nν+1(α)=C^nν(α)∪{γ|P(γ)⊆C^nν(α)}
∪{ψμ(ξ)|ξ∈α∩C^nν(α)∧ξ∈Cμ(ξ)∧μ≤ω}
Cν(α)=⋃n<ωCνn(α)
ψν(α)=min{γ|γ∈Cν(α)}
Takeuti-Feferman-Buchholz ordinal出现：一个序数是Takeuti-Feferman-Buchholz则等价于使用 Buchholz 记法下的ψ0(ε_Ω_ω_+1)
CK是Church-Kleene的缩写，两位数学家Alonzo·Church和Stephen·Cole·Kleene共同定义了可计算序数：一个序数α是可计算的，当且仅当集合α存在一个位于Ν上的可计算关系
ωck1，ωck2，ωck3...
Admissible ordinal
在此之后，遇到Admissible ordinal
一个序数γ是 Admissible ordinal 若集合论的 Kripke-Platek 公理满足可构造宇宙层级
特别的：上面的 CK 是最小的 admissible ordinal
Relativized Church-Kleene ordinal
给 Church-Kleene ordinal 配一个谕示（oracle）：它包含实数
于是相对化邱奇 - 克林序数ωx1出现了：满足对于任何 - 可计算实数的上确界。
这也是相对于x的最小Admissible ordinal
无限时间图灵机上的序数
无限时间图灵机（Infinite Time Turing Machine）作为超计算（Hypercomputation）
模型中的一员，可以在超限时间内进行计算，具有远超图灵机的计算能力：
任意算术集是无限时间图灵机可判定的；Π11∪Σ11同样是无限时间图灵机可判定的。
首先，无限时间图灵机在运行时会产生两个序数：
writable ordinal 和 eventually writable ordinal 。
可写序数（writable ordinal）表示一个实数满足机器的一个程序，它可以借助简单的输入
把这样一个数写在输出带子上，然后停机。
终可写序数（eventually writable ordinal）表示一个实数满足机器的一个程序，通过简单的输入就可以在输出带上写入一个实数，从某一点开始，输出带将这个实数作为最终的稳定值，即使机器没有停机。
现在，它们终于出现了：
一个序数λ：writable ordinals 的上确界；
一个序数ζ：eventually writable ordinals 的上确界；
一个序数Σ：accidentally writable ordinals 的上确界，而且是可计算不可达序数
它们的大小：
λ<ζ<Σ
Stable ordinals
推广 Admissible ordinal 的 Admissible 性质的不同强化变体，Stability 被发展成一个大的可数序数性质。
Stable ordinals 利用反射原理来定义。
最小的 stable ordinal 会有以下特征：
最小的 stable ordinal β 会有以下特征：若一个 α<β 的序数 α 会满足 Lα⊨ZFC。一个可数序数α是一个stable ordinal当且仅当 Lα≺Σ1L等价于Lα≺Σ1Lω1
基数层级
ℵ₀
ℵ₀＝card(ω…ω^ω…ω^ω^ω…ε…ζ…)
ℵ₀是所有自然数的总数
无限个无限大的宇宙的合集在此被类比为ℵ₀，这个无限大于或等于ℵ₀
在此ℵ₀也代指以无限大的宇宙作为空集取后继或无法通过有限数抵达的不可达的可数无穷合集
ℵ1
ℵ1是所有可数序数集合的势，它是一个不可数无穷合集
ℵ1的序数是ω1，ω1大于一切可数序数
以{1，2，3 }举例，{1，2，3}的幂集包含{}，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{2，3}，{1，3}，{1，2，3}
在ℵ₀中，以 {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9...}为单个合集 ℵ₀的子集可以是{1，3，5，7，9...}，{2，4，6，8...} ，{1，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，1，3，4，56，7，8，9...}...这样不断列出 ℵ₀子集，而通过这样取幂，我们可以构造出一个比 ℵ₀更大的无限
ℵa+1:=card(Z(ℵa))
2^ℵa=ℵa+1(^在此指取幂)
ℵ₀的幂集大于等于 ℵ1
ℵ1是序数层级无法抵达的层级，ℵ2是ℵ1无法抵达的层级，之后每个更高ℵ数，大基数乃至集宇宙一概以此类推
ℵ层级
利用替代公理和幂集，可以不断构造出越来越大的阿列夫数
ℵ₀，ℵ1，ℵ2，ℵ3...，ℵω，ℵω+1，ℵω+2，ℵω+3...，ℵω+ω，ℵω+ω+1，ℵω+ω+2，ℵω+ω+3...，ℵω+ω+ω，ℵω×2+1，ℵω×2+2，ℵω×2+3...，ℵω×3，ℵω×4，ℵω×5，ℵ ℵω×6...，ℵω×ω，ℵω²+1，ℵω²+2，ℵω²+3...，ℵω²+ω，ℵω²+2ω，ℵω²+3ω...，ℵω^3，ℵω^4，ℵω^5，ℵω^6...，ℵω^ω，ℵω^ω^ω，ℵω^ω^ω^ω...，ℵε0，ℵε0+1， ℵε0+2， ℵε0+3...， ℵε0+ω...，ℵε0×2，ℵε0×3...，ℵω^(ε0+1)，ℵω^ω^(ε0+1)，ℵω^ω^ω^(ε0+1)...， ℵε1， ℵε2，ℵε3...，ℵεω...，ℵεε0，ℵεεε0...，ℵζ0，ℵζ1，ℵζ2,ℵζ3...，ℵφ(3，0)，ℵφ(4，0)，ℵφ(5，0)，ℵφ(6，0)，ℵφ(7，0)...，ℵφ(ω，0)，ℵφ(ω+1，0)...，ℵφ(ε0，0)...，ℵφ(ζ0，0)...，ℵφ(φ(3，0)，0)...，ℵφ(φ(ω，0))，ℵφ(φ(φ(ω，0)，0)，0)...，ℵφ(1，0，0)，ℵφ(1，0，1)...，ℵφ(1，1，0)...，ℵφ(1，0，0，0)...，ℵφ(1@4)，ℵφ(1@5)...，ℵφ(1@ω)，ℵφ(1@ω+1)...，ℵφ(1@ε0)，ℵφ(1@ζ0)...ℵLVO，ℵBHO，ℵTFB...，ℵψ(ωΩ)，ℵψ(I(0))...，ℵψ(I(I(0)))...，ℵψ(εI+1)，ℵψ(εM+1)...，ℵω1ck，ℵω2ck，ℵω3ck...
_在此代指下角标
ℵω1，ℵω2，ℵω3，ℵω4，ℵω5，ℵω6，ℵω7
...
ℵω_ω，ℵω_ω_ω，ℵω_ω_ω_ω，ℵω_ω_ω_ω_ω，ℵω_ω_ω_ω_ω_ω
...
ℵω_ω_ω_ω_ω……ω(ℵ₀个ω)
ℵ_φ0=ℵω_ω_ω_ω_ω……ω(ℵ₀个ω)
φ0=阿列夫不动点
φ0，φ1，φ2，φ3...，φω，φω+1，φω+2，φω+3...，φω²，φω³ ，ω^4...，φω^ω，φω^ω^ω，φω^ω^ω^ω...，φε0，φε1，φε2，φε3，φε4，φε5，φε6，φεε0...，φζ0，φζ1，φζ2...，φη0,φη1，φη2...，φΓ0，φΓ1，φΓ2...，φSVO，φLVO，φBHO，φTFB...，φω1ck，φω2ck，φω3ck...
φℵ1，φℵ2，φℵ3...，φℵω1，φℵω2，φℵω3，φℵω4，φℵω5，φℵω6，φℵω7
...
φℵω_ω，φℵω_ω_ω，φℵω_ω_ω_ω，φℵω_ω_ω_ω_ω，φℵω_ω_ω_ω_ω_ω
...
φℵω_ω_ω_ω_ω……ω(ℵ₀个ω)
φℵ_φ0=φℵω_ω_ω_ω_ω……ω(ℵ₀个ω)
φℵ_φ0=φ(φ0)
φ(φ(φ0))，φ(φ(φ(φ0))))，φ(φ(φ(φ(φ(φ0)))))...
φ(φ(φ(...φ0)...)))=φ(0，0)
⏟
(ℵ₀个φ)
φ(0，k+1)=φ(φ(φ...(φ(0,k)+1)...))))
φ(0，0)，φ(0，1)，φ(0，2)...
φ(0，ℵ1)，φ(0，ℵ2)，φ(0，ℵ3)...
φ(0，φ(0))，φ(0，φ(0，0))，φ(0，φ(0，φ(0，0)))...
φ(α+1，β+1)={x∈ω|f(x)，f(0)=φ(a+1，β)+1，f(x+1)=φ(α，f(x))}
φ(α+1，0)={x∈ω|f(x)，f(0)=φ(α,0)，f(x+1)=φ(α，f(x))}
φ(1，0)，φ(1，1)，φ(1，2)...
φ(1，ω)...，φ(1，ω^ω)...，φ(1，ε0)...
φ(1，ℵ1)，φ(1，ℵ2)，φ(1，ℵ3)...
φ(1，φ0)，φ(1，φ1)，φ(1，φ2)...
φ(1，φ(1，0))，φ(1，φ(1，φ(1，0)))，φ(1，φ(1，φ(1，φ(1，0))))...φ(2，0)，φ(3，0)，φ(4，0)，φ(5，0)，φ(6，0)，φ(7，0)...
φ(ω，0)，φ(ω，ω)...，φ(ω+1，0)...，φ(ε0，0)...，φ(ζ0，0)...，φ(SVO，0)，φ(LVO，0)，φ(TFB，0)...，φ(ω1CK，0)...，φ(ℵ1，0)，φ(ℵ2，0)，φ(ℵ3，0)
...
φ(ℵω1，0)，φ(ℵω2，0)，φ(ℵω3，0)...
φ(φ(ω，0)，0)，φ(φ(ω^ω，0))，φ(φ(ε0，0))...，φ(φ(ℵ1，0))，φ(φ(ℵ2，0))，φ(φ(ℵ3，0))...
φ(φ(ℵω1，0))，φ(φ(ℵω2，0))，φ(φ(ℵω3，0))
...
φ(φ(φ0，0)，φ(φ(φ1，0))，φ(φ(φ2，0))
...
φ(φ(φ(φ0，0)))，φ(φ(φ(φ1，0)))，φ(φ(φ(φ2，0)))...
φ(φ(φ(φ0...，0)))...，φ(φ(φ(φ(φ0，0))))...，φ(φ(φ(φ(φ(φ0，0)))))...，φ(φ(φ(φ(φ(φ(φ0，0))))))...
φ(1，0，0)...
ψ(Ω^Ω^2)=φ(1，0，0，0)
ψ(Ω^Ω^3)=φ(1，0，0，0，0)
...
ψ(Ω^Ω^ω)=φ(1,0,⋯,0)
⏟
ω
...
ψ(Ω^Ω^Ω)=ψ(Ω^Ω^ψ^(Ω^Ω^ψ(...)))
=φ(1,0,...,0)
⏟
φ(1,0,...,0)
⏟
φ(1,0,...,0)
⏟
φ(...)
...
ψ(εΩ+1)=ψ(Ω^Ω^...^Ω)
⏟
ω
...
ψ(ε_(Ω+1))=BHO
...
ωck1，ωck2，ωck3
...
ω1，ω2，ω3
...
世界基数
称 κ 是世界基数，当且仅当 Vκ⊨ZFC 。
马洛基数
称 κ 是马洛基数，当且仅当对任意无界闭集 C⊆κ 均存在一个正则基数 α∈C ，κ 中正则基数的集合也因此称作 κ 的驻集。
不可达基数
假设 κ 是最小的不可达基数，那么 {α<κ:cf(α)=α} 不是 κ 的平稳子集，因为 {α<κ:cf(α)<α} 作为 κ 的无界闭子集与其相交为空。 若 κ 是第 α<κ 个不可达基数，{α<κ:cf(α)=α} 依旧不是 κ 的平稳子集，取 κ 中最大的不可达基数 λ ，{α<κ:λ<α} 作为 κ 的无界闭子集与其相交为空。
因此，倘若 {α<κ:cf(α)=α} 是 κ 的平稳子集，那么 κ 会是第 κ 个不可达基数。
假设 V⊨ZFC ，对任意公式 Q1x1,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn) ,定义函数 fφi:Vn→V
若 Q1x1 为 ∃x1 ，并且 V⊨Q1x1,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn) ,则 fφi(xm+1,…,xn) 为秩最小的使得 ∃x∈VαQ2x2,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn)成立的 Vα ，倘若这样的 x 不存在，则为 0
若 Q1x1 为 ∀x1 ，并且 V⊨Q1x1,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn) ,则 fφi(xm+1,…,xn) 为秩最小的使得 ∃x∈Vα¬Q2x2,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn)成立的 Vα ，倘若这样的 x 不存在，则为 0
令 F={φn:n∈ω} 是对所有公式的枚举，定义
fF(x1,…,xn)=⋃{fφn(x1,…,xn):φn∈F} ，即为某个 Vγ ，其包含了最底限的使得形如 ∃xφ(x,…,xn) 类命题成立的 x ，若不包含使得形如 ∃x¬φ(x,…,xn)类命题成立的 x ，即意味着 ¬∃x¬φ(x,…,xn)↔∀xφ(x,…,xn) 成立。既然 ∀xφ(x,…,xn) 在 V 中成立自然也不可能存在这样的 x 。
任取 Vγ 递归定义： Vγ0=Vγ ；
Vγn+1=Vγn∪⋃{fF(x1,…,xn):x1,…,xn∈Vγn} ；
Vλ=⋃n∈ωVγn
则 V⊨φ(x1,…,xn)↔Vλ⊨φ(x1,…,xn) ，若 V 中不存在世界基数，则 V=Vλ ，λ 是最小的世界基数（world cardinal），亦即最小的使得 Vλ⊨ZFC 的 λ
若 κ 为不可达基数，同样有 Vκ⊨ZFC 。对任意形如 ∃xφi(x,x1,…,xn) 的公式，定义函数 gφi:κ→κ 为对任意 x1,…,xn∈Vα，∃x∈Vgφi(α)φi(x,x1,…,xn)Vκ ， Vgφn(α) 即秩最小的 {x:φi(x,x1,…,xn)Vκ}∩Vλ≠⊘ 的 λ 。而对任意形如 ∃xφi(x) 的公式，定义函数 gφi:κ→κ ，Vgφi(α) 即秩最小的包含 Vα 且 {x:φi(x)Vκ}∩Vλ≠⊘ 的 λ 。
令 F={φi:i∈ω} 是对所有公式的枚举，定义 gF(α)=⋃{gφi(α):φi∈F} ，则每一个满足 gF(α)=α 的 α 都是世界基数。
定义 Ψ(0,S)=Ψ(S) , S 为任意长序数串。如 Ψ(0,α)=Ψ(α) ，Ψ(0,α,β)=Ψ(α,β) ，特别的，Ψ(α)=gF(α)
Ψ(S,α,Z,β)=min{γ|∀δ<α(Ψ(S,δ,γ,Z)=γ)∧∀δ<β(Ψ(S,α,Z,δ)<γ)} ，其中 0<α ，S 为任意长（可以为 0）序数串， Z 为任意长（可以为 0）的 0 字符串
如 Ψ(α,β) ，这里 S 和 Z 的长度均为 0，从而对于所有 δ<α ，Ψ(δ,Ψ(α,β))=Ψ(α,β) ，并且对所有 δ<β ，Ψ(α,δ)<Ψ(α,β)
后半段的情况是平凡，这里需要注意的是前半段， Z 发生了移位，这表明了 α 的递减会使得右边第一个数 β 变为 0 ，并且需要看往左数第一个非 0 序数，也正是发生的另一个改变的数—— α 右边第一个0 代替了 β 成为了 δ 管束下的变元，就如 Ψ(α,β) 中 β 受 α 管束。
以 Ψ(1,0,0) 为例，由于要求 0<α ，所以这里 α 只能是 1 ， S 再次长度为 0 ，β 倒是固定最右。由于小于 1 的数只有 0，所以这里发生的改变是 0 右边的 0 变成变元，而 β归零，Ψ(1,0,0) 将成为 Ψ(0,x,0) 的不动点。而开始已经说了，首位为 0 的情况直接去除，也就是 Ψ(0,x,0)=Ψ(x,0) 。
而这里，之所以 β 要归零只留一个变元是在于 α≤Ψα(0)<Ψα(β+1) ，因此不存在 Ψα(α)=α 。
进一步推广到任意序数元的情形，令 αϕβ 表示从右往左数位置为 β 的参数 α ，其余为零。如 Ψ(1ϕ3)=Ψ(1,0,0,0) ，而在 αϕ0 的情况则表示最右边的位置为 α
定义 Ψ(S,0ϕβ,T)=Ψ(S,T) ，其中 S 、T 表示任意长（可以为 0 长）的序数串，Ψ(αnϕβn,⋯,α2ϕβ2,α1ϕβ1,γϕ0)=min{δ|∀ξ<α1∀η<β1(Ψ(S,ξϕβ1,δϕη)=δ)∧∀ξ<γ(Ψ(S,α1ϕβ1,ξϕ0)<δ)} 其中S=αnϕβn,⋯,α2ϕβ2 ，也就是说你依旧只需要看 Ψ(α1ϕβ1,γϕ0) 这两段而已，但要注意的是，βn>⋯>β2>β1>0 ，因为同一位置不能即参数为 α 又参数为 β ，尽管它是描述 Ψ 在超限多参数的情况，但这里更多的是表示哪些位置有哪些参数。
以 Ψ(1ϕω,γϕ0) 为例，小于 1 的只有 0，0ϕω 就直接被去掉了，但对于所有小于 ω 的 η ，Ψ(1ϕω,γϕ0) 则会成为 Ψ(xϕη) 的不动点。并且对于所有小于 γ 的 ξ ，鉴于 γϕ0 其实就是表示最右边的数为 γ ，这其实就是表示第 γ 个 Ψ(xϕη) 的不动点，自然平凡的有
Ψ(1ϕω,ξϕ0)<Ψ(1ϕω,γϕ0) ，或者说 Ψ(1,…,0,ξ)<Ψ(1,…,0,γ)
再以 Ψ(2ϕω+ω) 为例，这里 γϕ0=0 ，但它并不是首个 Ψ(1ϕω+ω,x) 的不动点，而是对于所有小于 ω+ω 的 α ，都是 Ψ(1ϕω+ω,xϕα) 的不动点。对任意 κ ，Ψ(λϕκ)=λ 都是存在的，但对于 1<λ ，Ψ(λϕκ)=κ 是不存在的，毕竟 λ≤Ψ(1ϕλ)<Ψ(2ϕλ) ，而 Ψ(1ϕλ) 的情况会对于所有 α<λ ，成为 Ψ(xϕα) 的不动点。
而所有这样得到的世界基数，都仍是小于最小不可达基数的世界基数。特别的，令定义中的 Ψ(α)=gF(α) 更改为 Ψ(α)=W(α) ，W(α) 即第 1+α 个世界基数，则都小于之前的 Ψ(1,1) 具有的一个性质——
VΨ(1,1)⊨φ↔VΨ(1,0)⊨φ
假设 Ψ(1,1) 是第 α<λ 个世界基数，VΨ(1,1) 满足存在 <α 个世界基数，则有 VΨ(1,0) 满足存在 <α 个世界基数，而 Ψ(1,0) 本身亦是一个世界基数，与 Ψ(1,1) 是第 α 个世界基数的假设矛盾。
假设 Ψ(1,1) 是 W(2,0) ,即最小的满足 λ 是第 λ 个世界基数，则 VΨ(1,1) 满足世界基数在其中无界，同样有 VΨ(1,0) 满足世界基数在其中无界，与 Ψ(1,1) 是 W(2,0) 的假设矛盾。
若对两个世界基数 α,β 有 Vβ⊨φ↔Vα⊨φ 则称 α 为大世界基数，将 W(α) 改写为 1+α 个大世界基数，则 Ψ(1,2) 具有的一个性质—— VΨ(1,2)⊨φ↔VΨ(1,1)⊨φ 同样超越这些。但需要注意的是，即使是 Ψ(1,0) 都有 VΨ(1,0)⊨φ↔Vκ⊨φ 的初等子模型，因而远大于此。
令 FX={φn(X):n∈ω} 是对所有以 X={α:Vα≺Vκ} 为参数的公式的枚举，定义函数 gφn(X):κ→κ 为对任意 x1,…,xn∈Vα，∃x∈Vgφn(X)(α)φn(x,x1,…,xn,X)Vκ ， Vgφn(X)(α) 即秩最小的 {x:φn(x,x1,…,xn,X)Vκ}∩Vλ≠⊘ 的 λ ，再定义 gFX(α)=⋃{gφn(X)(α):φn(X)∈FX} ，则对 gFX(α)=α 均有 (Vα,Vα∩X,∈)≺(Vκ,X,∈)
称 κ 是不可达基数，当且仅当对任意 X1,…,…Xn⊆Vκ ，均存在 α<κ ，使得 Vκ⊨φ(X1,…,…Xn)↔Vα⊨φ(X1∩Vα,…Xn∩Vα) 。
假设 κ 是奇异极限基数，考虑到共尾映射 f:α→κ ,取 {α} 与 f 和相应的符号 U1,U2 来定义模型 (Vκ,{α},f,∈)⊨∃x(U1(x)∧U2:x→Ond) ,但对于任意 β<κ ， (Vβ,{α}∩Vβ,f∩Vβ,∈) 并不满足∃x(U1(x)∧U2:x→Ond) ，因为 dom(f∩Lβ)≠α
假设 κ 是正则后继基数，考虑到双射 f:α+→κ ,取 {α} 与 f 和相应的符号 U1,U2 来定义模型 (Vκ,{α},f,∈)⊨∃x(U1(x)∧U2:x+→Ond) ,但对于任意 β<κ ， (Vβ,{α}∩Vβ,f∩Vβ,∈) 并不满足 ∃x(U1(x)∧U2:x+→Ond) ，因为 κ=α+ 而 κ 之下不存在一个 β=α+=κ
假设 κ=ω ，则显然 (Vω,∈)⊨∀x∃y(x∈y) ，而 (Vn,∈)⊨¬∀x∃y(x∈y)
取 S⊆P(κ) 满足 ⊘∉S 且 X={α:Vα≺Vκ}∈S 以及 X∈S→H(X)={α<κ:(Vα,Vα∩X,∈)≺(Vκ,X,∈)} 和对任意 γ<κ 都有 ⋂a<γXα∈S 且有 {Xα:α<κ}⊆S
→{α＜κ:α∈⋂β<αXβ}∈S ，则称 S 是对 {α:Vα≺Vκ}的 0-闭包，记为 G({α:Vα≺Vκ})
定义 S 上的选择函数 f(X) 为 X 在 ∈ 关系下的最小元，
取 S′⊆P(P(κ)) 满足 ⊘∉S′ 且 S=G({α:Vα≺Vκ})∈S′ 以及 S∈S′→H′(S)=G({α<κ:(Vα,Vα∩f[(Vα∩S],∈)≺(Vκ,f[S],∈)})
和对任意
γ<κ 都有 G({α<κ:(Vα,Vα∩⋂β<γf[Sβ],∈)≺(Vκ,⋂β<γf[Sβ],∈)})∈S′
且有
{Sα:α<κ}⊆S′
→G({α<κ
:(Vα,Vα∩{α＜κ:α∈⋂β<αf[Sβ]},∈)
≺(Vκ,{α＜κ:α∈⋂β<αf[Sβ]},∈)})∈S′
，则称 S′ 为对 {α:Vα≺Vκ} 的 1-闭包，记为 G′({α:Vα≺Vκ})
由于 S 上的选择函数 f 是 S 到 κ 的单射，故 |S|=κ 。又由于 ⊃ 是 S′ 上的良序关系，且 G({α:Vα≺Vκ}) 是其中的最小元，故 |S′|=κ 。定义 S′ 上的选择函数 f′(S) 为 S 在 ⊃ 关系下的最小元，则 f(f′(S)) 为 f′(S) 在 ∈ 关系下的最小元。
若 α 满足(Vα,Vα∩f[f′[S′]],∈)≺(Vκ,f[f′[S′]],∈)，则称 α 为Nanachi
Vκ⊨∀α∃β(β=ℵα) 即可知 κ 为极限基数，但 κ 为正则基数则取决于不存在以 κ 为值域的共尾映射的定义域非 κ ，是一则相对于 κ 的 Π11 命题。
不可描述基数
基数K称为∏n
m-indescribable如果对于每个∏m命题(φ，并且设置A⊆∨κ与(Vκ+n,∈，A)╞φ存在一个α<κ与(V α+n，∈,A ∩Vα)╞φ。这里看一下具有m-1个量词交替的公式，最外层的量词是通用的。∏n
m-indescribable的基数以类似的方式定义。这个想法是，即使具有额外的一元谓词符号（对于A）的优势，也无法通过具有m-1次量词交替的n+1 阶逻辑的任何公式将κ与较小的基数区分开来（从下面看）。这意味着它很大，因为这意味着必须有许多具有相似属性的较小基数。
如果基数κ是∏nm，则称它是完全不可描述的——对于所有正整数m和n都难以描述。
强可展开基数
形式上，基数κ是λ不可折叠的，当且仅当对于ZFC负幂集的每个基数κ的传递模型 M，使得κ在M中并且M包含其所有长度小于κ的序列，有一个将M的非平凡初等嵌入 j 到传递模型中，其中 j 的临界点为κ且j(κ)≥λ。
一个基数是可展开的当且仅当它对于所有序数λ都是λ可展开的。
基数κ是强λ不可折叠的，当且仅当对于ZFC负幂集的每个基数 κ 的传递模型 M使得κ在M中并且M包含其所有长度小于κ的序列，有一个非-将M的j简单基本嵌入到传递模
型“N”中，其中j的临界点为κ，j(κ)≥λ，并且V(λ)是N的子集。不失一般性，我们也可以要求N包含其所有长度为λ的序列。
可迭代基数
将基数κ定义为可迭代的，前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数κ被定义为α-iterable 如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根据。
拉姆齐基数
让[ κ ]<ω表示κ的所有有限子集的集合。如果 对于每个函数， 基数 κ称为 Ramsey
f : [ κ ]<ω→{0,1}
存在基数为κ的集合A对于f是齐次的。也就是说，对于每个n，函数f在A的基数n的子集上是常数。如果A可以被选为κ的固定子集，则基数κ被称为不可言说的Ramsey。如果
对于每个函数， 基数κ实际上被称为
Ramsey
f : [ κ ]<ω→{0,1}
存在C，它是κ的一个闭无界子集，因此对于C中具有不可数共尾性的每个λ，都存在一个与 f 齐次的入的无界子集；稍微弱一点的是lamost Ramsey的概念，其中对于每个λ<κ，需要有序类型λ的f的同质集。
可测基数
为了定义这个概念，人们在基数κ上或更一般地在任何集合上引入了一个二值度量。对于基数κ，它可以描述为将其所有子集细分为大集和小集，使得κ本身很大，∅并且所有单例{ α }，α ∈ κ很小，小集的
补集很大，并且反之亦然。小于的交集κ大集又大了。
事实证明，具有二值测度的不可数基数是无法从ZFC证明其存在的大基数。
形式上，可测基数是不可数基数κ，使得在κ的幂集上存在κ加性、非平凡、0-1值测度。（这里术语k-additive意味着，对于任何序列A α，α<λ的基数λ<κ，A α是成对相交的小于κ的序数集，A α的并集的度量等于个人A α的措施。)
强基数
如果λ是任何序数，κ是λ-strong意味着κ是基数并且存在从宇宙V到具有临界点κ和Vλ⊆M
也就是说，M在初始段上与V一致。那么κ是强的意味着它对所有序数λ都是λ-强的。
伍丁基数
f : λ→λ
存在一个基数κ<λ和{f(β)|β<κ}和基本嵌入j : V→M
来自冯诺依曼宇宙V进入可传递的内部模型M和临界点κ和V_j(f）(κ)⊆M
一个等效的定义是这样的：
λ是伍丁当且仅当λ对所有λ来说都是非常难以接近的
A⊆V_λ存在一个λ_A<λ这是<λ-A-strong的
超强基数
当且仅当存在基本嵌入 j ：V→M从V到具有临界点κ和V_j(κ)⊆M
类似地，基数κ是n-超强当且仅当存在基本嵌入j : V→M从V到具有临界点κ和V_jn(κ)⊆M 。Akihiro Kanamori已经表明，对于每个n>0，n+1-超强基数的一致性强度超过n-huge 基数的一致性强度。
强紧致基数
当且仅当每个κ-完全滤波器都可以扩展为κ-完全超滤器时，基数κ是强紧凑的。
强紧基数最初是根据无限逻辑定义的，其中允许逻辑运算符采用无限多的操作数。常规基数κ的逻辑是通过要求每个运算符的操作数数量小于κ来定义的；那么κ是强紧致的，如果它的逻辑满足有限逻辑紧致性的模拟。具体来说，从其他一些陈述集合中得出的陈述也应该从基数小于κ的某个子集合中得出。
强紧性意味着可测性，并被超紧性所暗示。鉴于相关基数存在，与ZFC一致的是第一个可测基数是强紧基数，或者第一个强紧基数是超紧基数；然而，这些不可能都是真的。强紧基数的可测极限是强紧的，但至少这样的极限不是超紧的。
强紧性的一致性强度严格高于伍丁基数。一些集合论学家推测强紧基数的存在与超紧基数的存在是等一致的。然而，在开发出超紧基数的规范内模型理论之前，不太可能提供证明。
可扩展性是强紧凑性的二阶类比。
超紧致基数
如果M⊆M，则称κ为λ超紧基数；如果对任意为λ≥κ，κ为λ超紧基数，则称k为超紧基数。
若κ是超紧基数，则存在κ个小于k的超强基数。
假设N是一个ZFC的模型, δ是一个超紧基数, 如果对任意λ>δ, 存在ρδ (λ) 一个δ-完全的正则精良超滤U满足
(1) ρδ(λ) ∩ N ∈ U ；
(2) U ∩ N ∈ N ，
就称N是关于δ是超紧基数的弱扩张子模型 (weak extender model) 。
终极层级
哥德尔的可构造宇宙
L的构造：Lo=∅
L1=Def(Lo)=Def(∅)={∅}
...
Ln+1=Def(Ln)
...
Lω=Lo∪L1U...ULnU...=ULk
K<ω
...
Lλ={Def(La) 若λ=α+1
{U LK 若λ是极限序数
K<λ
L=ULK，K跑遍所有序数
K
终极l
内模型计划(Inner Model program)
简单地说,设V是真实的集合论宇宙,但由于哥德尔提出的集合论内模型L无法容纳大基数的存在。
在此之后的集合论学家们所做的就是:构造类似于L的内模型,同时能够容纳大基数。
Woodin证明了:如果存在一个类似于L的模型M,它能容纳一个超紧致基数(supercompact) ,那就存在一个模型UU可以容纳已知的所有大基数; U非常接近集合论宇宙V。Woodin将这个模型U称为终极L(Ultimate L)
摘自知乎作者Ember Edison
V=终极-L的直接推论
(Axiom Icarus set) 见证最大基数Icarus的存在性。 (Woodin) 见证真类多的Woodin基数。
(L-like) 是最大的内模型。(ADR-like) 见证能够和选择公理兼容的最大的类- ADR 公理，并且θ是正则的。
(Ordinal Analysis) 拥有最大的证明论序数。（即使序数分析目前远未到ZFC的水平）
(Regularity property) 见证能够和选择公理兼容的最强的实数正则性质断言（虽然具体的值我未曾找到）
(Ω−logic) 见证 Ω 猜想成立。
(V=HOD) 见证每一个集合都是遗传序数可定义的，HOD猜想成立。
(Reinhardt) 见证ZF+Reinhardt不一致。 ( H(λ+) ) 存在非平凡初等嵌入 j:Lλ(H(λ+))→Lλ(H(λ+)) .
(Generic-Multiverse) V是最小的脱殊复宇宙。 (GCH) 见证广义连续统假设成立，并且 ω1 上有一个均匀预饱和理想。
(PFA) 见证正常力迫公理(Proper Forcing Axiom)成立。
PFA+存在一个Woodin基数可以见证，存在见证一个Woodin基数是Woodin基数的极限的内模型。PFA本身可以推出开放涂色公理OCA(Open coloring axiom)。是一个比较有用的力迫公理。
(◻MP) 见证必要最大化原则(Necessary Maximality Principle)成立。
如果在一个弱紧致基数的模型内见证 ◻MP 成立可以见证，存在见证一个Woodin基数的内模型并且投影决定性公理PD成立。另一个比较有用的力迫公理。
(UA) 见证超幂公理(Ultrapower Axiom)成立。
(UBH, CBH) 唯一分支假设UBH以及共尾分支假设CBH不成立。
V=终极-L的前置需求
(Supercompact) 一个内模型是终极-L至少要见证一个超紧致基数。
(Ultrapower Axiom) 一个内模型是终极-L也可以至少见证超幂公理UA+地面公理GA+存在一个最小强紧致基数成立。
(SBH) 一个内模型是终极-L必须是基于策略分支假设SBH。
导读：目前最强的见证存在武丁基数的武丁强极限的内模型中见证cUBH(弱唯一分支假设)成立，并见证 ◻α 对一切基数 α 成立。
如果某个内模型见证一个基数 α 是 Π12 - 亚紧致基数存在则UBH(唯一分支假设)，CBH(共尾分支假设)，SBH(策略分支假设)，PFA都可以成立，并破坏 ◻α 。
V=终极-L的可能推论
(First-Order) V=终极-L是一个多元一阶算术(Many-Sorted First-Order Logic)集合论。
(finitely axiomatizable) 存在V=终极-L的有限公理化。
导读：终极-L本身当然不可能是有限公理化的。但是我们可以这样做：宣告ZF，宣告V=终极-L，宣告存在以上所有条款的最大序数真谓词。（可数传递模型/ α -传递模型是不需要的，因为终极-L见证 Ω 猜想成立）然后寻找这一套东西的保守扩张是有穷公理化的，将这个最终的东西命名为“V=终极-L的理论”。只要V=终极-L确实是多元一阶算术，就可以这样做。
(Limit of supercompact) 存在真类多的Eη基数并且每一个Eη基数都是超紧致基数的极限。
(AD-Conjecture) 对于每一个超紧致基数的极限基数 λ , ADλ 成立。
导读：I0和Icarus都是极其强大的内模型。第一个 ADL(R) 的证明使用I0基数的存在性而得以完成，而反过来说，这也证明了I0基数是和 ADL(R) 相似的类-AD公理。然而，继续向上推广I0会遇到一些疑难：I0本身已经并不是非常像决定性公理，或许继续往上会越来越不像决定性公理。所以在I0和Icarus之间发展出了三种不同的推广方式，也就是U(j)表示，Suslin表示，E层级。而如果AD-Conjecture成立可以终极地避免类似问题：我们在V和Icarus之间建立了绝对性。
(The Perfect Theory 2.b.) Icarus基数之下的每一个 ≥I0 基数的真类初等嵌入具有三歧性。
(V[G]) 如果V[G]是V的脱殊集合扩张并且V在V[G]的 ω− 序列下不封闭那么V[G]≠终极-L并且V[G]中普遍分区公理不成立。
(Universal Partition) 见证普遍分区公理成立。
(Strong Universal Partition) 见证强普遍分区公理成立。
(Canonical inner model) 终极L是一个典范内模型，并见证地面公理Ground Axiom成立。
V=终极L自身的疑难问题
( LΩ,LSΩ,L(∗)Ω ) 终极L是否是唯一的。
(Ultrafilter Axiom at λ) 如果只有一个终极-L，那么对于每一个超紧致基数的极限基数 λ , 超滤公理成立，反之不成立。
即使真的存在一个典范的内模型是终极L并且满足“Woodin的完美理论”的所有条款，也不一定只有一个这样的典范内模型。虽然Woodin与Peter Koellner等人认为终极-L几乎没有可能不是唯一的，然而如果内模型计划最终得到了这样的结果的话，终极-L也不会是柏拉图主义所完全满意的那个终极理论而变成了形式主义的又一次伟大胜利。
以下戏仿内模型计划的其中一个挑战理论，内模型假设的形式的猜想，假定了终极L至少具有 ω1CK 个这种宏伟意义上的唯一性失败。
(IMH for Ultimate-L) 对于每一个一阶语句 ψ 若位于一些 V 的外模型内那么存在一个终极内模型 LψΩ 满足 ψ。
(StrongIMH for Ultimate-L) 对于每一个带有参数 (ω1,ω2) 的一阶语句 ψ 若位于一些 V 的外模型内并且 ω1 -preserving和 ω2 -preserving 那么存在一个终极内模型 LψΩ 满足 ψ。
原版的 IMH 是一个具有最大宽度（通过将所有力迫外模型所增强的语句指认为宇宙内的适当内模型）但是极低的高度（不存在不可达基数）的“矮而最胖”的集合论公理。而相对的终极-L则是一个“最高而瘦”（最大的大基数和CH成立）的集合论公理。虽然不太可能成功，但是这样的一个缝合怪或许是某种意义的最优集合论理论。
(M-Max) ZFC+V=终极L 是否能比 ZFC+≤Icarus+MM++ 更为M-最大？
马丁最大化MM作为一个早年Woodin信奉后来又抛弃的概念，一直都有将MM的弱化（ MM++(c),PFA,OCA 等）和集合论局部结构的内模型相互比较强度的论文推出。诚然，终极-L会是一个S-最大(Steel-Maximization)理论，然而有人质疑V=终极L作为是否能在M-最大(Maddy-Maximization)意义上比MM更强，因为他们认为似乎终极L并不是那么的典范的内模型，并且最终提出了以下猜想。
(INEC) 解释不存在猜想Interpretation Non-Existence Conjecture:
ZFC+V=终极L中不存在关于 ZFC+≤Icarus+MM++ 的M-等价解释。因此，ZFC+≤Icarus+MM++严格意义地比 ZFC+V=终极L 更为M-最大。
冯诺伊曼宇宙
V0=∅
V1={∅}
V2={∅,{∅}}
...
Vn+1= P(Vn)P表示幂集
...
Vω=V1∪V2∪...∪Vn∪...∪=∪Vk
k＜ω
...
Vλ={P(Vα) 若λ=α+1
{∪Vk 若λ是极限序数
k＜λ
V=∪Vk k跑遍所有序数
k
复宇宙/集合论多宇宙
集合论多宇宙观
..the set of all truths of the transfinite universe cannot be reduced to the set of truths of some explicit fragment of the universe...
- W. Hugh Woodin [52, 103]
本章中，作者将介绍 2010 年前后由 Joel David Hamkins 在[20]中第一次系统地阐释的集合论多宇宙观（Multiverse View）的哲学立场.之后，作者将论证该哲学立场要么与它声称反对的传统集合实在论立场相融，要么实际上就是一种形式主义的数学哲学.
在下面的讨论中，我们主要关注的仍然是多宇宙观、传统集合实在论以及形式主义立场对数学研究的实际影响，而暂时忽略它们背后的哲学渊源.例如，人们可以将多宇宙观对人们在各种集合论宇宙中经验的强调理解为一种经验主义的传统，从而与显然是理性主义传统的集合实在论截然对立，但这并不是本章，也不是整个论文所关注的方向，后文中的论证依然重点着眼于多宇宙观等哲学立场对具体问题的看法.
首先，我将简单介绍多宇宙观酝酿产生的学科发展背景，以及多宇宙观的基本观点。
5.1 集合论模型与多宇宙观
我们知道传统集合实在论认为，作为数学对象的所有集合客观地存在于集合论宇宙中.我们对于这些集合的理解，要么符合事实，要么不符合.人们对集合的理解，也即人们的集合概念体现为集合论的诸公理.集合论公理系统可以看作是对集合这个概念的隐定义.然而，不完全现象说明人们对集合概念的理解是不充分的.传统实在论的目的就是逼近那个正确的理解，它表现为集合论新公理的确立.显然，这样的公理是不能随意选择的，它必须是对集合论宇宙中的那些事实的正确的陈述.
集合论多宇宙观与传统实在论是对立的.它认为没有一个绝对正确的集合的概念.人们对集合的理解多种多样，对每一种理解都存在相应的集合论宇宙作为其例证.我们不能说某个理解是正确的，而其他的是错误的.或者说，我们可以有各种各样的集合论的“真”，即在不同的集合论宇宙中的真充分的。传统实在论的目的就是通近那个正确的理解，它表现为集合论新公理的确立。显然，这样的公理是不能随意选择的，它必须是对集合论宇宙中的那些事实的正确的陈述.
集合论多宇宙观与传统实在论是对立的.它认为没有一个绝对正确的集合的概念.人们对集合的理解多种多样，对每一种理解都存在相应的集合论宇宙作为其例证.我们不能说某个理解是正确的，而其他的是错误的。或者说，我们可以有各种各样的集合论的“真”，即在不同的集合论宇宙中的真.
5.1.1 构造集合论模型
多宇宙观产生的学科背景是在近几十年，尤其是 Cohen 发明力迫法以后，各种“集合论模型”的“构造”已经成为集合论研究所无法离开的工具。例如，通过初等嵌入对大基数的定义。基数 κ 满足某个大基数性质，当且仅当存在一个初等嵌入 j：V → M，使得 κ 是j 的关键点。而被嵌入的集合论模型 M 往往是 V 的超幂或超幂的迭代.
构造集合论模型的作用更多地体现在作为不完全现象的例证，各种独立命题或一致性证明的发现，都可以看作是构造了某些集合论模型.在其中，那些命题最直观的是集合模型的构造.例如，假设存在一个不可达基数 k(参见定义 2.3.3)，那么 Vκ 就是一个 ZFC 的模型.如果我们取的 k是最小的不可达基数，那么 Vκ 会认为它里面没有不可达基数。因此
ZFC+存在不可达基数╞ Con(ZFC +不存在不可达基数).1
又由向下的 Lowenheim-Skolem 定理，我们甚至可以找到一个可数的 ZFC 模型。它会“错误地”认为自己有不可数多的对象。在对运用力迫法证明一致性的叙述
中，我们往往会把原模型看作是一个可数模型，这让我们可以很直观地得出脱殊滤的存在，从而构造出力迫扩张。然而，要证明存在某个集合论理论的集合模型必须要假设一致性强度更强的公理系统.因此，从 ZFC 出发的针对其它命题与 ZFC 的一致性证明往往是相对一致性证明.即，我们先假设一个模型的存在,
1其实，证明不可达基数的一致性只需要假设 Con(ZFC)。假设 M 是 ZFC 模型，那么 M 中“所有在第一个不可达基数(如果存在的话)阶(rank)之下的集合”组成的类就是不存在不可达基数的模型.
再从这个模型出发，或限制或扩张，构造出一个满足特定命题的模型.
内模型(inner model)是通过对原模型作限制而得到新模型的一种构造方式。如哥德尔的可构成集类 工(参见定义2.2.5).在其中，每一层结构 Lα(α无穷) 的基数是|α|，而 Lα 的所有子集都可以在 L(α+)L 中被构造出来.因而，广义连续统假设在其中成立.在可构成集组成的宇宙中，我们可以根据每个对象第一次被构造出来的先后顺序，以及被构造所使用的方式(可数种)、参数（已构造并排序的对象）来排定该对象的位置。因此，我们在整个宇宙上有一个可定义的良序，即选择公理在 L中成立.但 L中不一定含有全部的实数，我们可以从实数集（而非空集)开始构造，得到 L(R)。在其中，有可能没有一个实数上的排序，从而选择公理又不成立。我们也可以用利用序数可定义性来定义内模型 HOD。其中所有的集合以及它们的元素都是以序数为参数在 V 中可定义的.由于其定义所用的参数就是序数，而定义方式可数，所以也很容易将整个宇宙良序化。但是，连续统的取值在 HOD 却可以非常任意.
无论集合模型还是内模型的构造都可以看作是在我们这个绝对的集合论宇宙内部的构造.力迫扩张，一种外模型(outer model)的构造方式(参见 2.2.2 子节)，的产生才是对传统集合实在论的真正挑战.我们往往会这样叙述一个运用力迫法的一致性证明：我们从一个集合论宇宙 V 出发，构造其中的一个布尔代数 B.我们给每个关于集合的陈述赋予一个 B 上的值以表示其真假程度.当然，这种赋值需要符合一定规律，例如 ZFC 中句子都被赋予 1，即绝对真；如果 ZFC╞ φ → ψ，那么φ赋的值就比 p 更真。事实上，我们构造了一个多值逻辑的模型，即布尔值模型。其中有一些陈述的真值介于绝对的真和绝对的假之间。从中，我们可以看到更多集合论模型的可能性.我们设想有一个 P 上的 V 脱殊滤 G.它是一个超滤，将 B 分为两个等价子类，即真和假.从而把可能性现实化，得到力迫扩张 V[G]并满足特定的命题。一般来说， V 是 V[G]的子类,但 V[G]中却含有 V 中没有的对象，如 G.也就是说 V[G]是比 V更大的宇宙。这种构造似乎是在说，处于集合论宇宙之内的人(通过布尔值模型)也可以想象宇宙之外的情况，按照一些实在论者的想法，这些可以被合理地想象的对象也是实在的.那么， V 对生存于其中的人们来说就不再是绝对的宇宙了.
集合论学家往往喜欢把上述的那些技术手段理解为集合论模型的构造.因此，Hamkins 等人认为，传统的实在论已经不适合集合论研究的现状了，多宇宙观则
显得更加自然.他强调，集合论多宇宙观是一种二阶或高阶的实在论.2如果说传统集合实在论是关于集合的柏拉图主义，那么多宇宙观就是关于集合论宇宙的柏拉图主义.人们关于各种集合论模型、各种可能的集合论概念，以及它们之间关系的研究应该成为未来集合论研究的主题.
5.1.2 集合概念与集合论模型
Hamkins 在[20]中提到:“我将简单地把一种集合概念与引起这种概念的集合论模型等同起来”.
而作者恰恰认为这种等同是不合适的，一种集合概念可以在很多集合论模型中被满足，而这些模型很可能非常不同，例如，假设 M 是 ZFC 的一个模型， U 是 M 中的一个超滤.则根据超幂基本定理， M 与超幂 Ult(M,U)是初等等价的。也就是说，在多宇宙观看来，这两个模型对应的集合概念是一样.然而这两个集合论模型可以是非常不同的.
定理 5.1.1假设 M 是一个集合论模型， U 是 M 中的超滤. U 不是可数完全的.即存在 U 中的 A0, A1,...， An，...。使得 ∩n An = ∅.那么，存在一个 Ult(M,U)中的“属于”关系的无穷下降链。
证明 令 A = ∪U，即 U 是 A 上超滤.由于滤对于有穷交封闭，我们可以安全地假设
A0 ⊃ A1 ⊃ … ⊃ Am ⊃ ....
令Bn = An\An+1.定义 M 中函数 f：A → ω，对 a ∈ Bn，
fi(α) = { n-i 若n-i
{ 0 否则.
图 5.1.1：无穷下降链
容易验证(如图5.1.1)，对任意i, {α ∈ A|fi+1(α) ∈ fi(α)} ∈ U，即|fi+1| ∈ Ult(M,U)|fi|.
2Hamkins 在所有作者所知的学术报告中，都把多宇宙观称作二阶实在论，但在[20]中他谨慎地将多宇宙观表述成一种高阶实在论，他似乎不排除将他的多宇宙观往更高阶的推广的可能.
注意， Uht(M,U)与 M 初等等价，因而满足良基公理，即它不认为其中有无穷长的“属于”关系的下降链，但是，从外面看，我们仍然可以找到无穷长的下降链.
我们知道，两个相同的模型(往往在同构的意义上)总是满足同样的句子，因而适合于它们的集合概念应该是一样的.然而，按照多宇宙观的看法，一个集合论模型可以在不同的宇宙中被检视.例如， M 是 N 中的一个集合模型，而 N 本身也是 V 中的一个集合模型.那么，有可能 N 认为 M 所满足的公式与 V 认为 N 中的 M 所满足的公式并不相同.读者可以在 5.2 节中找到具体的例子.
因此，我们必须问多宇宙观的拥护者，他们到底是强调那些集合论模型的实在性还是强调没有一个绝对的关于集合的概念.作者将论证：如果多宇宙观强调的是各种集合论模型的存在，那么这种哲学观点可以与传统的集合实在论相容，我们仍然可以设想有一个真实的反映集合的客观实在的集合概念.如果多宇宙观强调的是不存在一种绝对的集合概念，那么它在实践上就是一种形式主义.
5.2 复宇宙
Hamkins 在[20]中的一些地方表现出他更强调那些集合论模型的实在性.其中最有代表性的是他对复宇宙（multiverse）3的描述.类似于传统实在论所假设的绝对的集合论宇宙(包含着所有的集合)，多宇宙观的复宇宙是由所有的集合论宇宙组成的那个绝对的宇宙. Hamkins 强调:“我们不期望从一个宇宙能够看到整个复宇宙”[20,23].这里，多宇宙观的复宇宙，类似于传统实在论的集合论宇宙，是一个绝对的概念.即，凡是能够被想象的集合论宇宙都在其中，超出复宇宙这种想法本身是不一致的.
Hamkins 在[20,4]提到了 von Neumann [46, 412]考虑到的一种情况：“一个集合论模型可以是另一个集合论模型中的集合，而且一个集合可以在前一个模型中是有穷的，而在后一个模型看来是无穷的；类似地，前一个模型中的良序在后一个模型看来可以有一个无穷下降链.”这为人们对复宇宙内宇宙间的关系的理解提供了一些直观.
5.2.1 复宇宙公理及其一致性
类似于一些集合论公理描述了集合论宇宙的丰富性，即集合论宇宙在集合存在和集合运算下的封闭性， Hamkins 提出了一组复宇宙公理力图展现复宇宙的丰富性，即存在很多的集合论宇宙，并且复宇宙在集合论宇宙之间的一些关系下封闭.
定义 5.2.1 （复宇宙公理）假设 M 是一个由 ZFC 模型组成的非空类.我们说 M 是一个复宇宙，但且仅当它满足：
(1）可数化公理：对任意 M 中的模型 M，存在 M 中的一个模型 N，使得 M 是 N 中的一个可数集合.
(2)伪良基公理：对任意 M 中的模型 M，存在 M中的一个模型 N，使得在 N 看来，结构 M 上的关系 ∈ω 是一个莠基的关系.
3作者将 multiverse view 译作多宇宙观，这是与传统集合实在论，也即被多宇宙观称作唯一字宙观(universe view)相对的概念，而这里的复宇宙是指多宇宙观所理解的包含所有集合论宇宙的那个宇宙。
(3)可实现公理：对任意 M 中的模型 M，如果 N 是 M 中参数可定义的类,并且 M 认为 N 是 ZFC 的模型，那么 N 在 M 中.
(4)力迫扩张公理：对任意 M 中的模型 M，如果 P 是 M 中参数可定义的偏序 (类)，那么存在一个 P上的 M 脱殊滤 G，使得力迫扩张 M[G]在 M 中.
(5)嵌入回溯公理:对任意 M 中的模型 M1若 ji, M2是 M1 中参数可定义的类且 M1 认为 ji ：M1 → M2 是一个初等嵌入，那么存在 M 中的一个模型 M0，M0认为以同样方式4定义的 j0 ：M0 → M1 是一个初等嵌入，并且 j1 = j0(j0).
注 5.2.2 我们说,“集合论模型(M,∈M)5是 N 中的一个元素(集合)”或“M 在 N 中”，是指存在集合 N 中的一个元素 α0， N 认为该元素是由 m0, E0 组成的有序对且 E0 是 m0 上的一个二元关系，且 N ╞ α0 = (m0,E0)ΛE0 ⊆ m0×m0，而从外面看集合 m1 = { x ∈ N | N ╞ x ∈ m0} 及其上的关系 E1 = {(x,y) ∈ N × N | N ╞ xE0y}组成的结构(m1,B1)同构于集合论模型 M.
图 5.2.1：非传递模型的错觉
4“以同样方式”指的是：假设 j1 = {x ∈ M1 | M1 ╞ φ[x，p1]}，则 j0 = {x ∈ M0 | M0 ╞ φ[x，p0]} 且 j0(p0) = p1.
5当我们谈论一个集合论模型（M,∈M）时，往往会简写为“集合论模型 M”，此时，我们考虑的是一个结构，而不仅仅是一个集合.
由于这里所涉及的集合论模型不一定是传递模型.从外面看，它们的“属于”关系不一定是真正的属于关系的一个子类.所以，同一个对象，从外面看和从一个非传递的集合模型 N 看，可能包含不同的元素.我们一般用上标 0 来强调我们指的是模型 N 中的一个对象，用上标 1 来表示我们指的是 N 把该对象理解成的那个集合.例如， N = Ult(V,U)是一个超幂(U 是序数 α 上超滤). N 中的元素都是形如 [f]U 的集合.其中 f 是从 α 到 V 中的函数， [f]U 是 mod U 的等价类。从外面看 [f]U 是由所有与 f 等价的函数组成的集合，我们用 α0 表示这个对象，即 α0 ={g | g ~U f}= [f]U。而在 N 看来， [f]U 所包含的元素是那些 [g]U。从外面看，那些 g 满足对大部分 s有 g(x) ∈ f(x) (记为 g ∈U f)。此时，我们用 α1 来表示， N 所理解的 α0，既 α1 ={[g]U | g∈U f}.
结构(m1,E1)是从外面看对 N 所理解的(m0,E0)的理解.对任意 x,y ∈ m1，
(m1,E1) ╞ x ∈ y (即 xE1y)当且仅当 N ╞ ┌ (m0,E0) ╞ x ∈ y¬。而 x ∈ m1 当且仅当 x ∈ N 且 N ╞ x ∈ m0。因此，对公式复杂度简单地归纳就可以得出：任给集
合论公式 φ 和 x1,...,xn ∈ m,
(5.2.1) (m1,E1) ╞ φ[x1,...,xn] ⇔ ╞ ┌(m0,E0) ╞ φ[x1,...,xn]¬
注 5.2.3 我们说,“集合模型 M1 认为别 j1：M1 → M2 是一个初等嵌入”（ j1 和 M2 是 M1 中参数可定义的类)，严格地是在说， M 认为 j1 是从自身到 M2 的 Σ0 初等嵌入(对任意 Σ0 公式 φ(x) 有, M1 ╞ φ[α] 当且仅当 M2 ╞ φ[j(α)]).这样定义是因为，M 中无法定义自己的真谓词，因而无法真正说 j1 是初等嵌入。但 M1 中可以说 j1 是 Σ0 初等嵌入。并且从外面看，如果 j1：M1 → M2 是 Σ0 初等嵌入，那么从外面可以归纳地证明它确实是初等嵌入，核心归纳步骤如下.
假设 M2j(β) ╞ ∃xφ(x)，那么存在序数 α OrdM2 使得， VM2j(β) ╞ ∃xφ(x)。由于 j1 是一个共尾嵌入，即总存在β ∈ M1 使得 j(β)>α，我们选取足够大的 β 使得 VM2j(β) ╞ ∃xφ(x)。即 M2 ╞ ∃x ∈Vj(β)φ(x)。而 ∃x ∈Vj(β)φ(x)的复杂度不比 φ 更高，所以我们可以运用归纳假设，得到 M1 ╞ ∃xφ(x).
总的来说，复宇宙公理所要表达的是，复宇宙是没有中心的，没有一个集合论宇宙可以被看作是标准的.我们看到的或想象我们生存于其中的那个集合论宇宙，在别的宇宙看来可能只是一个可数的世界；或者它不是一个良基的世界；它可能是另一个世界中的超幂或者是布尔值模型下的一种可能性.并且，即使我们能跳出当前的宇宙，从更高明的角度审视并意识到这些问题，我们仍然只不过是处于一个更高级的幻觉中而已.
Gitman 和 Hamkins 在[15]中证明了，假设 ZFC 是一致的，那么看似荒谬的复宇宙公理并不蕴含着矛盾.
定义5.2.4（可数的可计算地和模型类） 令 T 是一个集合论理论，
CCSM(T)={(m, E) | m 可数,且(m, E)是 T的可计算饱和模型}
是由所有满足 T 的可数可计算饱和的集合论模型组成的类.
一个集合论模型 M 是可计算饱和的，当且仅当对于任意可计算的公式集 Ø(x,a)(其中至多包含一个自由变元 ,一个参数 α ∈ M)。如果 Ø(x,a)的每个有穷子集在 M 中可实现(即有穷可实现),那么整个 Ø(x,a) 在 M 中可实现,即存在 b ∈ M 使得 M╞ Ø[b,a].
容易验证，任何可计算饱和的集合论模型都有一个非标准的 ω。因为，公式集 {x < ω,x > 0,x > S0,...,x > Sn0,…} 是可计算的，也是 M 中有穷可实现的.
定理 5.2.5（Gitman-Hamkins）假设 ZFC 一致，那么 CCSM(ZFC)满足所有复宇宙公理.即所有可数的可计算饱和的 ZFC 模型组成了一个复宇宙，证明概述首先，引理 5.2.6 是整个证明的核心引理.
引理 5.2.6 任给两个可数的可计算饱和的 ZFC 模型，如果它们有相同的标准系统，那么这两个模型同构.
我们知道,一个ω非标准的模型 N 中不存在标准的 ω，也不存在在标准 ω 的无穷子集.但我们可以说 N 中的一个自然数子集 (非标准的) α0 是一个标准的自然数子集 A 的代码(code)，当且仅当 A ＝ α1 ∩ω。我们说一个模型 M 的标准系统(standard system)，是指所有能用 M 中元素编码的标准的自然数子集，既 SSy(M) = {ω∩α1 | α0 ∈ M}
在证明可数化和伪良基公理成立的时候，我们实际上证明的是任何一个可数的可计算饱和模型 N 都含有一个自己的副本，即含有一个元素 α，并认为它是一个可数的非良基集合论模型（m, E)，而通过引理 5.2.6 可以证明，从外面看，该模型与 N 同构，反过来说，每个可数的可计算模型都在自己的一个副本之中，且被自己认为是可数的并且是非良基的.
类似地，假设 Mi 是个可数的可计算饱和模型，并且 j ：M1 → M2。我们可以利用引理 5.2.6 证明，事实上存在一个同构 M1 ≃ M2，并且在 Mz中以同样方式定义的 j2 = j1(j1)。因此，就像站在 M2 的角度看，存在模型 M0 (其实是 M1 自己)及其中同样地定义的初等嵌入 j0 ：M0 → M1 使得 j1 = j0(j0).
运用引理 5.2.7
引理 5.2.7 假设 N 是拥有一个非标准的w的 ZFC 模型，那么 N 中的模型都是可计算饱和的。
我们可以证明，任给一个可数的可计算饱和的模型 M，它的内模型和力迫扩张同样在某个可计算饱和(因而也是ω非标准的)模型中，所以也是可计算饱和的,即在 CCSM(ZFC)中.
值得说明的是，在可数化公理和伪良基公理中，我们并不要求那个“更好的”模型 N 把 M 识别为 ZFC 的模型.事实上， N 中的句子集 ZFC 被编码为 N 中的那个非标准的 ω 的子集，是一个非标准的 ZFC.所以，尽管实际上 M 是 ZFC 的模型， N 仍可能认为 M 只满足它所认识的 ZFC 的一个前段.
然而，在一定的假设之下，还是可以找到一个模型 N 把 M 识别为 ZFC 的模型.
引理 5.2.8（Gitman-Hamkins）如果 M 是可数的可计算饱和的 ZFC 模型，那么下面两个命题等价:
(1)理论 TM =ZFC+{ Con(ZFC + Γ) | Γ 是 Th(M)的有穷子集 }是一致的.
(2)存在可数的可计算饱和的 ZFC 模型 N， M 是 N 中的元素，并且 N 认为 M 是一个可数的可计算饱和的 ZFC 模型.
我们会在后面看到， TM 一致这个假设其实并不很强.
需要注意的是，在传统实在论者看来，一个 ZFC 甚至 ZF 的模型可以被称为一个集合论宇宙，但这些模型绝不是他们心目中的那个绝对的囊括所有集合的宇宙。类似地，我们在这里把 CCSM(ZFC)称作一复宇宙，只是表名它满足定义 5.2.1 的复宇宙公理.它绝不可能是二阶实在论所理解的那个绝对的复宇宙,因为它事实上是某个集合论宇宙中一个可定义的类。此外，就像 ZFC 不是对集合论宇宙的完备的描述，我们没有理由以为定义 5.2.1 中所列复宇宙公理是完备的。事实上，人们期待着一种根本上不同于力迫扩张的新的集合论模型构造方式,也即一种新的一致性证明方式的发现.
总之， Hamkins 通过这一结论试图说明的仅仅是，多宇宙观对复宇宙的理解至少是一种一致的无法被逻辑证否的哲学假说.
脱殊复宇宙
定义1.
令M为ZFC的可数传递模型,则由
M生成的脱殊多宇宙VM为满足以
下条件的最小模型类:
1. M ∈ V M;
2.如果N∈VM,而N'=N[G]是N的脱殊扩张,则N'∈VM;
3.如果N∈VM,而N=N'[G]是N'的
脱殊扩张,则N'∈VM。
简单说, VM是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。由V生成的脱殊多宇宙记作V.
定义2.2 (脱殊多宇宙的真)对任意ZFC的可数传递模型M,和对任意集合论语言中的语句σ,我们称·σ是M-脱殊多宇宙真的,当且仅当它在VM的每个模型中都真,记
作VM=o；
·σ是M-脱殊多宇宙假的当且仅VM╞σ；
·σ是M-脱殊多宇宙无意义的当且仅当VM╞¬σ并且VM=¬σ。
特别地,如果σ在由V生成的脱殊多宇宙中为真,则称σ是脱殊多宇
宙真的,记作V╞σ。
脱殊扩张:
力迫法
1963 年，科恩（Paul Cohen)发明了称为力追法的有力工具，并证明了连续统假设的否定的一致性，即
(2.2.2) ZFC ╞ Con(ZFC)→Con(ZFC+¬CH).
与哥德尔对已有 ZFC 模型 M 进行限制从而得到满足特定命题的子模型 LM 的构造方式不同，力迫法所构造的模型 M[G] 是包含给定模型 M 为其子模型的更大的模型.
假设 ZFC 一致，那么由哥德尔的逻辑完全性定理8，就存在一个 ZFC 的集合模型.再由定理 2.3.5，及 Mostowski 坍塌，可以得到一个 ZFC 的可数传递模型。我们一般把可数传递模型作为力追法的原模型(ground model).9
假设 M 是一个可数传递模型,令(P,＜) ∈ M 是 M 中的一个偏序。由于 M 是传递的，P，<以及任意 p ∈ P 都在 M 中。10为了直观，我们把 P 中元素称作条件(condition)。对 p,q ∈ p，若 p ≤ q(p
