【一起读书】视觉SLAM十四讲 第4讲（上）李群和李代数的知识，买了个写字板儿

该笔记默认只讨论三维空间的变换情况。

一、概念

群：只支持一种封闭的运算方法的集合。

李群：具有连续性质（非离散）的群。

（例：两个旋转矩阵R相加后不是旋转矩阵，相乘后仍是旋转矩阵，只关于乘法封闭，因此是李群）

李代数：由(一个集合,一个数域,一种运算方法)组成，那种运算方法被称为李括号，元素和自己做李括号运算后=0。是李群某处的正切空间，李群是流形结构，而李代数是线性空间，因此支持加法，用来帮助对姿态求导。

旋转变换：

变换后的姿态=旋转矩阵R×原向量，R就是李群，也被称为特殊正交群SO(3)，是三维矩阵。

欧式变换：

在旋转变换的基础上加上平移，变换后的姿态=旋转矩阵R×原向量+平移向量t，为了方便计算，给每个向量下面加上一行1变成4维，得到由R和t组成的变换矩阵T，T是李群，也被称为特殊欧式群SE(3)，是四维矩阵。

李群表示一种变换，李代数表示这种变换的变化率。

李群是矩阵，李代数是向量（但可以通过^变成矩阵）。

已知李代数，通过指数映射得到李群；已知李群，通过对数映射得到李代数。

一般用exp()表示指数映射，例如R=exp(∅^)，T=exp(ξ^)。（李代数要先加^变成矩阵形式）

李群SO(3)的李代数是so(3)，李群SE(3)的李代数是se(3)。

注意：SO(3)和R，so(3)和∅，SE(3)和T，se(3)和ξ，指的是同一个东西，前者是概念的代指，后者是计算时的代指。

使用目的：求旋转后的位姿对于旋转的导数，方法分为李代数模型和小扰动模型。

二、计算

主要看上图，以下内容辅助理解。

SO(3)：

so(3)=ϕ=旋转向量θa（角度×转轴单位向量）

指数映射（已知θ、a求R）

公式就是从旋转向量θa转换到旋转矩阵R使用的罗德里格斯公式：

因此李代数ϕ就是旋转向量θa。

对数映射（已知R求θ、a）

只要通过R分别求出角度θ和单位向量a，就能得到李代数ϕ。其中tr(R)是R的迹

SE(3)：

注意：其中ρ是平移，但是含义与T矩阵中的t不同。下面的指数映射是从T矩阵开始变化，和上面ξ^的变化并没有什么关系，但是其中的ρ是一样的。

指数映射（已知θ、a、ρ求R、t）

其中t=Jρ，J是雅可比矩阵（Jacobian matrix）

对数映射（已知R、t求θ、a、ρ）

通过R分别求出角度θ和单位向量a，得到ϕ，另外再求出ρ