机翻｜肯尼斯·阿罗的数理经济学手册 导言

数学经济学领域的许多内容在本手册的章节中都有介绍。的确，尽管“数理经济学”领域可以像序言中那样被定义为一个“包括数学概念和技术在经济学，特别是经济理论中的各种应用”的领域，但另一种定义该领域的方法是列举它的所有部分。从实用主义的角度来看，我们在这个意义上对该领域的定义是由手册的目录提供的。然而，我们认识到这一定义并不真正完整;由于篇幅限制和优先权的考虑，一些非常活跃的数学经济学领域被忽略了。历史视角将为读者提供一个更清晰的背景和各个章节之间的相互关系的感觉。最后，我们列出了自1961年以来数学经济学的11项重要发展。本导论将数学经济学的历史分为三个广泛且有些重叠的时期:基于微积分的边缘主义时期(1838- 1947)，理论/线性模型时期(1948 -1960)，以及当前的整合时期(1961-至今)。这些日期只是提示性的。基于微积分的边际主义分析从未停止过;集论/线性模型分析始于1933年，至今仍有重要意义。 以微积分为基础的边际主义时期:1838-1947 在数学经济学的早期阶段，经济学从自然科学和相关的数学中借鉴了方法，并在很大程度上以微积分为基础发展了一种正式的理论。通过假设足够平滑的函数(如效用函数和生产函数)和最大化行为，形成了一个关于微观经济主体行为和一般均衡的相当完整的理论。基本的数学工具是微积分，特别是使用总导数和偏导数以及拉格朗日乘子来描述极大值。消费者、生产者、寡头垄断和一般均衡等现代理论的数学基础都是在这一时期发展起来的。古诺(1838年)是一个开创性的著作，它可以被视为数学经济学的起点。古诺的贡献可以分为两大类:企业理论和单一市场中企业与消费者的相互作用。至于企业理论，古诺的基本假设是企业选择产出水平以实现利润最大化。他研究并严格定义了完全竞争和垄断两种情况。关于单一市场中企业和消费者的相互作用，古诺提出了(单一)竞争市场中的供求相等问题和卖方竞争有限的寡头垄断问题。寡头垄断的“古诺解”仍然是一种标准方法，适当的推广在博弈论的发展中起着重要作用。在《手册》中，Friedman在第11章阐述了寡头垄断理论，而Shubik在第7章讨论了博弈论。企业理论:古诺的利润最大化假设主要是通过19世纪最后25年生产函数概念的发展得到扩展，因此出现了一个完整的处理投入需求和产出供应的理论。许多作者都赞同这一发展，如瓦尔拉斯(1874)[但生产函数和边际生产率理论直到第三版(1896)才出现]，威克斯德(1894)，威克塞尔(1893)和J. B.克拉克(1889)。霍特林(1932)给出了可能是第一个完全连贯的描述。在《手册》中，Nadiri在第10章概述了企业理论。消费者理论:从预算约束下效用函数最大化的消费者需求理论的发展首先由Gossen (1854)， Jevons(1871)和Walras(1874)开始，并由Marshall(1890)详细阐述。Slutsky(1915)对效用最大化需求函数的性质进行了完整的推导，并由Hicks和Allen(1934)、Hotelling(1935)、Georgescu-Roegen(1936)和Wold(1943- 44,1953)进行了进一步研究。效用的基础在以下几个方面得到了深化:用序数代替基数效用是由费雪(1892)和帕累托(1909)提出的;基本效用的公理化是由Frisch(1926、1932)和Alt(1936)提出的;揭示性偏好法由Samuelson(1938)提出，Houthakker(1950)和Uzawa(1960)进一步发展。《手册》的第九章，由Barten和Bohm撰写，调查了消费者需求理论。一般均衡:市场是相互关联的，因此经济均衡的特征是所有市场上的供应和需求同时相等，这是瓦尔拉斯(1874)提出的基本概念。这一概念由帕累托(1896,1909)进一步发展和阐述。通过证明方程的数量等于未知数的数量(另见Marshall(1890))，使均衡存在的情况变得合理。竞争均衡的最优性由瓦尔拉斯和帕累托共同提出。均衡的稳定性:在单一市场的均衡情况下，稳定的条件已经被古诺(1838)和马歇尔(1890)讨论过。瓦尔拉斯(1874)对一般均衡的稳定性问题进行了广泛的讨论，但不是很严格。第一次从严谨的观点进行讨论出现在希克斯(1939a)和萨缪尔森(1941)。后来关于稳定性的重要论文包括阿罗和赫维奇(1958)、哈恩(1958)、(1962)、阿罗、布洛克和赫维奇(1959)、尤泽(1961、1962)、哈恩和根ishi(1962)，这些论文不仅以希克斯和萨缪尔森为基础，还以莫萨克(1944)和梅茨勒(1945)为基础。在手册中，Hahn在第16章中谈到了稳定性。最优资源配置:第一个系统地计算收益和成本，基本上使用了消费者和生产者剩余的现代概念，是由于杜普伊特(1844年)。帕累托(1909)对许多个体存在时的最优性给出了明确的定义。最优和次优状态的表征被称为福利经济学领域;霍特林(1938)、柏格森(1938)和希克斯(1939b, 1941)综合了所有早期工作。随着时间的推移，优化的特定问题首先由Ramsey(1928)研究，并由Hotelling(1931)专门研究了可耗尽资源。拉姆齐(1927)首先研究了可能税种范围有限时的优化问题。这些论文没有一篇有很大的立竿见影的影响，但却导致了战后大量的研究。广义讨价还价:Edgeworth(1881)首先研究了一种经济的结果，在这种经济中，各种商品都可以讨价还价，而不仅仅是价格体系中可能的讨价还价。这组可能的结果被称为契约曲线。这一概念的广义版本，即核心，在一般的博弈论中得到了进一步发展，特别是在经济系统中;参见本手册第18章，作者Hildenbrand。以微积分为基础的边缘主义学派将许多先前的结果与最新的发展结合起来，其顶峰体现在两本仍然具有高度影响力的经典著作中:希克斯(1946)和萨缪尔森(1947)。它们都总结了现有的理论，并提出了新的概念。希克斯(1946)的一个新概念是临时平衡，后来得到了广泛的发展;在手册的第十九章，由格兰蒙特的主题。萨缪尔森(Samuelson, 1947)结合了先前提到的关于显性偏好和稳定性的研究。集论/线性模型时期:1948-1960年 集合论/线性模型主要是第二次世界大战后的现象，在这个时期，数学经济学的早期微积分基础被集合论基础和线性模型所取代。使用集合论意味着更大的通用性，因为光滑函数的经典假设可以被更一般的函数所取代。使用线性模型也意味着处理不能用平滑函数表示的现象，例如多面体图形的顶点。集合论方法的基本数学工具，包括数学分析、凸性和拓扑元素，在Green和Heller的手册第1章中进行了总结。冯·诺依曼(von Neumann, 1937)的一篇重要论文已经在经济增长的背景下提出了新的方法，其中方法比背景更重要。在发展集合论方法方面发挥重要作用的另一项工作是阿罗(195la)。这本书关注的是社会选择理论的公理化，但在这样做的过程中，它使用了集合论的技术，这为研究一般均衡理论的问题提供了一个框架。在《手册》中，森在第22章阐述了社会选择理论，而竞争均衡的数学方法则在第3部分第15-21章中讨论。发展一般均衡理论的两篇极具影响力的论文是Wald(1933-34)和Arrow and Debreu(1954)。瓦尔德(1933- 33,1936)以泽恩(1932)、奈瑟(1932)、冯·斯塔克尔伯格(1933)和施莱辛格(1933-34)的早期发展为基础，首次对一般均衡进行了严格的分析。阿罗和德布鲁(1954)和麦肯齐(1954)分别广泛使用集合论方法来阐述竞争均衡的存在性问题，并在适当的条件下证明存在性。McKenzie (1955, 1959, 196 1)， Gale (1955)， Nikaido (1956)， Debreu(1962)对存在问题进行了进一步的分析。这一分析的一个重要工具是Kakutani不动点定理，在Kakutani (1941) - Brouwer不动点定理的推广。Arrow (195 1b)和Debreu (1951, 1954a)通过集论和凸集方法重新研究了竞争均衡(福利经济学)的最优性。福利经济学的主题在手册的第4部分，第22-26章中讨论。在消费者理论中，效用函数的进一步公理发展，特别是与序数假设相关的发展，在德布鲁(1954、1964)和拉德(1963)提出。这一主题被包括在Barten和Bohm的消费理论的发展在第9章。对于在不确定选项中进行选择，效用理论也有公理化。拉姆塞(1926)的早期论文被忽视了，有影响力的贡献者是冯·诺伊曼和摩根斯特恩(1947)，马尔沙克(1950)，赫斯坦和米尔诺(1953)。拉姆齐(1926)也公理化了主观概率的相关概念;随后，萨维奇(1954)在费内蒂(1937)的早期工作的基础上，在很大程度上独立于拉姆齐的工作而发展了这一理论。在许多方面，这一时期集论概念在经济均衡理论中的应用在德布鲁(1959)中达到了顶峰，这是一本极具影响力的经典著作，相对于现代集论时期，它所起的作用堪比希克斯(1946)和萨缪尔森(1947)相对于经典的基于微积分的时期。与早期著作一样，德布鲁(1959)在阿罗(1953)的基础上，既总结了理论的状态，又进行了扩展，特别是对不确定性下均衡的扩展。Radner在《手册》第20章中论述了不确定条件下的平衡问题。阿罗和哈恩(1971)一书总结了后来将集论和基于微积分的概念应用于经济均衡理论的发展。从1948年到1960年的这段时期也是线性模型发展的一个时期，有许多应用领域和相关的发展。本质上，线性方程组和线性不等式系统取代了基于微积分的边际主义时期的偏导数的使用。在此之前和期间，Leontief(1941年，1966年)提出了输入输出模型，这是一个行业间关系的线性模型。生产的相关活动分析模型是由Koopmans, ed. (195 1)， Morgenstern, ed. (1954)， Koopmans(1957)，以及在苏联由Kantorovich(1942, 1959)提出的。冯·诺依曼多部门增长模型(1937)是这一时期的关注对象，特别是Kemeny、Morgenstem和Thompson(1956)和Gale(1956)。该模型在一般均衡理论和增长理论中都发挥了重要作用。线性规划是在这一时期发展起来的，源于Dantzig(1949, 1951, 1963)的工作，尽管在线性不等式系统上已经有了更早的结果。这种方法在多尔夫曼、萨缪尔森和索洛(1958)和盖尔(1960)的著作中达到顶峰。这些书不仅讨论了线性规划，而且还讨论了一般均衡的线性模型和线性增长模型。最重要的是这一时期Malinvaud(1953)的相关资本积累模型的发展。Dorfman、Samuelson和Solow(1958)提出了收费公路定理的初始公式，随后Radner(1961)、Morishima(1961、1964)、McKenzie(1963)和Nikaido(1964)证明了该定理。在手册中，线性规划在第2章由Intriligator处理，增长理论和收费公路定理在第26章由McKenzie处理。博弈论也在这一时期的发展过程中，部分基于线性模型的分析。它的起源可以追溯到冯·诺依曼(1928)，但基本的发展出现在冯·诺依曼和摩根斯特恩(1947)和纳什(1950)。博弈论在这一时期的发展总结在Luce和Raiffa(1957)中。博弈论是Shubik在手册第7章中介绍的。 当前是一个整合时期，在这个时期，现代数学经济学结合了微积分、集合论和线性模型的元素。这也是一个数学思想几乎扩展到所有经济学领域的时期。当前，数学经济学有许多正在发展的课题，这是并将继续是数学经济学的一个极具成果的课题。本节介绍从1961年到70年代末这段时期正在发展的11个重要主题。(1)不确定性和信息:2包括Pratt(1964)和Arrow(1970)提出的风险规避理论;不确定性下的平衡，Diamond(1967)和Radner (1968);微观经济应用，在McCall (1971);保险，Borch (1968);搜索行为，在Rothschild(1974)和Lucas and Prescott (1974);市场信号，斯彭斯(1974)。在《手册》中，第6章论述了不确定性经济学，第23章论述了信息，第13章论述了不确定性投资的微观经济学理论，第20章论述了不确定性下的均衡。(2)全局分析:将微积分和拓扑学相结合的数学方法用于研究经济均衡的性质及其随基础经济变化的变化。Debreu(1970)率先研究了只有有限平衡集的条件。在《手册》中，全球分析的数学是斯梅尔(Smale)在第8章的主题，而迪尔克(Dierker)在第17章调查了其在经济学中的应用。 (3)对偶理论:这是一种结合了集论和微积分技术的经济学理论的许多方面的方法。这一领域的重要著作包括Hotelling (1932, 1935)， Roy (1947)， McKenzie (1956-57)， Shephard (1953, 1970)， Samuelson (1953-54)， Uzawa (1964a)， Chipman (1966)， Diewert(1974)，以及Fuss和McFadden的编著。(1978)。在《手册》第12章中，Diewert讨论了微观经济理论的二元性方法。(4)总需求函数:消费者理论表明，效用最大化个体的需求函数必须满足某些限制条件。这些或类似的条件在多大程度上(如果有的话)必然适用于总需求函数?Sonnenschein(1973)首先给出的论点表明，聚合需求函数不受个体需求函数产生于效用最大化的条件的限制。随后的重要论文是Mantel(1974)和Debreu(1974)的论文。Shafer和Sonnenschein在手册第14章中讨论了这个话题。(5)具有连续交易者的经济和市场核心:“大量”交易者的直观概念是完全竞争假设的基础，在最近的工作中已经被形式化，要么是交易者数量趋于无穷的极限，要么是交易者的连续体。在大型经济体中，正如Edgeworth(1881)已经指出的那样，核心(或契约曲线)趋向于与竞争均衡集一致。该理论结合了博弈论、一般均衡理论和测量理论的要素。Shubik (1959)， Scarf (1962)， Debreu和Scarf (1962)， Aumann (1964, 1966)， Vind(1964, 1965)和Hildenbrand (1968, 1970a, 1970b)提出了这种分析。Hildenbrand在《手册》第18章中论述了经济的核心。测度理论是基尔曼第五章的主题。(6)临时均衡:临时均衡的概念由Hicks(1939)提出。在这种均衡交易中，每个主体都根据当前和过去的经济状况预测自己未来的禀赋。均衡可以包括所有价格的快速变动，足以出清所有市场，或者允许数量配给。这个问题在手册第19章中由Grandmont论述。(7)均衡价格的计算:这是计算映射固定点的一种特殊情况，其中固定点被解释为均衡价格向量，隐含的分配是一个可行的分配，可以出清所有市场。这方面的主要作品是《围巾》(1967、1973)。这个主题在《手册》第21章中由Scarf介绍。(8)社会选择理论:社会选择理论关注的是个体偏好在社会选择中的聚合。关于这个主题的现代文献主要来自阿罗(195la)，这本书发展了分析这个问题的框架，并介绍了可能性和不可能性定理。根据可能性定理，当社会只有两种选择时，多数原则满足社会选择的某些公理。根据不可能定理，如果社会存在三种或三种以上的选择，那么包括多数决定原则在内的任何聚合系统都不能满足社会选择公理。直到20世纪60年代，关于这一主题的大部分文献都在Sen(1970)中进行了处理。在手册的第22章中，Sen.(9)讨论了社会选择:最优税收:这一领域的早期工作包括Ramsey(1927)和Hotelling(1938)，而最近重要的文章包括Boiteux (1956)， Mirrlees(1971)和Diamond and Mirrlees(1971)。莫里斯在《手册》第24章中讨论了这个主题，他将最优税收作为规范次优理论的一个要素。Sheshinski的第25章讨论了正次优理论。(10)最优增长理论:这一领域已在萨缪尔森和索洛(1956)、萨缪尔森(1965)、尤泽(1964b)、库普曼斯(1965,1967)、卡斯(1965,1966)、冯·韦兹萨克(1965)、盖尔(1967)、壳牌(1967)以及卡斯和壳牌(1967)等人的著作中得到发展。(1976)。事实上，在Ramsey(1928)的一篇超前几十年的文章中，这个问题最初被表述为最优储蓄问题。然后，在20世纪60年代，使用更现代的分析工具，并将这一理论与多部门增长模型结合起来，解决了这个问题。增长理论和收费公路定理在手册第26章由麦肯齐处理。最优增长理论的数学基础包括动力系统理论，由瓦里安在第三章中讨论，以及控制理论，由肯德里克在第四章中讨论。(11)组织理论:该领域包括团队理论、分权、激励问题和计划。这一领域的重要早期作品包括Simon/ (1957)， Hurwicz (1960)， Marschak和Radner(1972)。这个主题在手册的第27章由Marschak描述，第28章由Hurwicz描述，第29章由Heal描述。综上所述，自1961年以来，数学经济学中有11个重要课题:不确定性与信息(第6,13,20,23章)全球分析(第8,17章)对偶理论(1、2)总需求函数(第14章)5 .具有连续交易者的经济和市场的核心(第5,7,18章)(第19章)均衡价格的计算(第21章)社会选择理论(第22章)最优税收(第24、25章)最优增长理论(第3、4、26章)组织理论(第27、28、29章)