Zeno of Elea与二分法

    芝诺 （约前490-前425），英文Zeno of Elea，出生地为意大利半岛南部的埃利亚。古希腊数学家、哲学家，以芝诺悖论著称。

    Zeno 曾经提出箭永远不会达到它的目标。首先，他认为箭要到达目标 距离的一半，然后再达到剩余距离的一半，然后继续到达剩余距离的一半， 这样就无穷无尽。

    Zeno认为箭的飞行过程有无数个部分，所以要花费无数时 间才能结束这一过程。不过，我怀疑Zeno是自愿甘做靶子才会得出这样的结论。

采用一种定量的方法，假设箭用1秒钟走完一半的路程，然后用1/2 秒走完剩余距离的一半然后用1/4秒再走完剩余距离的一半 等等。

    可以用下面的无限序列来表示总时间： 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +....

我们可以用一段C语言来简单实现以下这个算法↓

最后让我们看一下运行的结果↓

    不难看出，尽管不断添加新的项，但是总和看起来变化不大。

就像程序 输出显示的那样，数学家的确证明了当项的数目接近无穷时，总和无限接近 2.0。

    更为巧妙的是我们可以返用数学的方法进行倒推，假设用S表示总和↓

把S除以2得

第1个式子减去第2个式子得： 

除了第1个值为1，其他的值都是一正一负地成对出现，所以这些项都可以消去。

只留下：

然后，两侧同乘以2，得：

    从这个示例中可以得到的启示是：“在进行复杂的计算之前，先看看数学上是 否有简单的方法可用”。