极化码数学原理(二)-Adapted Process

(录制的视频在：https://www.bilibili.com/video/BV13m4y1E7Bx/）

定义在概率空间  上的一个 Filtration 域流，如果有一个对应的随机过程，使之随机过程中每个时刻的随机变量，在域流中对应的子空间上可以计算概率（可测的），则称这个随机过程是 Adapted 于这个域流。

事件空间 F 的多个子集（子空间），满足一定条件就构成了域流 Filtration。

我们以抽取 1 到 10 的 10个自然数，抽 1 次，我们已知每个数被抽取到的概率为 1/10。

则样本空间 

事件空间就是 ，总共由  个元素组成

概率测度 P= 1/10.

第 0 天，没有告诉任何关于抽取结果的信息，则这个时候，定义随机变量为 , 子事件空间为 , 对应的是“没有抽取，或者 抽取了但是没有告诉结果”。

第1天，告诉抽取的结果的奇偶，则这个时候定义随机变量为 , 子事件空间为 , 其中 

 和 

第2天，告诉抽取的结果的被 4 除后的余数，则这个时候定义随机变量为 ,  以及：

则定义 子事件空间 为由  生成的  域.

第3天，告诉最终的抽取结果，定义随机变量为 ，则事件空间就是 ，总共由  个元素组成。

则   就构成了一个域流，因为 

那么随机变量 在对应的子事件空间  上都是可以计算概率的，即可测的。则称之为随机过程   在域流   是适应的(Adapted).

不是适应的，举出两个例子。

第一，没有构成域流 Filtration

仍然以上面的概率空间为例子。

第0天的随机变量不变，还是 ， 子事件空间是 

第1天的随机变量不变，还是 ， 子事件空间是 

第2天的随机变量 , 告诉除以 3 的余数，则：

由这三个集合生成的  域 ，

第3天的随机变量不变，还是 ， 子事件空间是 

虽然  在对应的 上都能计算概率，但是，由于

  与  之间没有构成包含关系，因此，无法构成域流。

第二，构成了域流，但是没有定义概率，或者说无法计算概率，即不可测。

则样本空间 

事件空间就是 

概率测度 . 

那么最开始的除四余数的那个例子中，虽然有域流，但是，对于  和  是不能计算概率出来的，因此，不是可测的。