day2的时候说到了模拟水纹水波，想到了另一个常用的波函数-Gerstner Wave，今天就来说说这个为什么需要这个波函数以及它的应用。

先看看海浪图

不难看出，现实世界的海浪是有尖锐的峰顶的，比较波涛汹涌。那不管是sin或者cos函数，都没有一个尖锐的峰顶去模拟这个尖锐陡峭的峰顶。

那么为什么sin或cos函数都是圆润的呢，我们把这两个函数离散化一下，变成分散的点。

Sin wave

可以看到对于sin或cos函数，对于不同横坐标的点，每个点只会往上下两个方向移动,对于sin波可以有如下表达

A = 振幅， l = 控制周期， v = 移动速度， t = 时间。 是为了把周期从0到2缩放到0到

shadertoy简单代码如下

Gerstner Waves 

因为sin或cos这些波函数无法正确的模拟我们想要的波浪效果，所以我们需要一个可以更加准确描述风所造成的海浪的波的表达，那就是Grestner波了（查找资料过程中了解到了一个Stokes波，也是对水波浪的一个建模，但还挺复杂，有空再看）。先看看Grestner波做了什么事

现在，对于每个离散的点，除了上下移动，还会左右移动，并且是一个圆周运动。而且在波峰位置，点会更加聚集，在波谷位置，点就相对分散。那么既然是圆周运动自然可以想到圆的参数方程

那么我们对每个离散的点的x，y做一个这个变化就行了，看看代码

可以看到图片有被拉伸的效果，其实做到这里就差不多。但是如果你拉高（振幅）或者缩小（周期的话）会看到一个打结的现象

那么这肯定不是我们想要的，如果在模拟水波的时候出现这种情况就会有一个断裂的现象

既然是振幅和周期引起的，那么我们就对其建立一个制约关系，去解决这个问题。这里直接说结论 （振幅 * 周期 <= 1）时才不会有这个断裂的问题。根据这个不等式，我们可以引入一个新的变量来控制振幅的值，引入新变量后公式为

代码如下

最后需要考虑的便是速度这一块了，因为这是对水波浪的一个模拟，那么速度肯定不是无限快的，波的速度并不是任意的，其速度与波长和重力相关，直接上公式，代码如下

二维模拟的情况到这就差不多了，推广到三维的话也是差不多，只需要在z轴做一个和x轴相同的操作即可（可以使用一个权重控制x轴和z轴的偏移贡献）。同时同一个点的Gerstner波是可以叠加的，具体做法可以将生成波的这个过程封装成一个函数，然后返回一个vector3，在每个点运行一下这个函数然后加起来即可。