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凝聚态场论常用公式(5):Bloch定理与Wannier函数

2023-03-19 14:20 作者:打电动的阿伟嘻嘻嘻  | 我要投稿

晶格内的周期势V(%5Cboldsymbol%7Br%7D%2B%5Cboldsymbol%7BR_n%7D)%3DV(%5Cboldsymbol%7Br%7D)%2C%5C%20%5Cboldsymbol%7BR_n%7D为格矢.

周期场中的单电子的波函数为Bloch波

%5Cpsi_%7Bn%5Cboldsymbol%7Bk%7D%7D(%5Cboldsymbol%7Br%7D)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7BV%7D%7De%5E%7Bi%5Cboldsymbol%7Bk%7D%5Ccdot%5Cboldsymbol%7Br%7D%7Du_%7Bn%5Cboldsymbol%7Bk%7D%7D(%5Cboldsymbol%7Br%7D)%2C%5C%20u_%7Bn%5Cboldsymbol%7Bk%7D%7D(%5Cboldsymbol%7Br%7D%2B%5Cboldsymbol%7Bk_n%7D)%3Du_%7Bn%5Cboldsymbol%7Bk%7D%7D(%5Cboldsymbol%7Br%7D)%2C

其中n为能带指标, %5Cboldsymbol%7Bk%7D%5Cin%20%7B%5Crm%20FBZ%7D. 几个常用的关系式

(1):%5Cpsi_%7Bn%5Cboldsymbol%7Bk%7D%7D(%5Cboldsymbol%7Br%7D%2B%5Cboldsymbol%7BR_n%7D)%3De%5E%7Bi%5Cboldsymbol%7Bk%7D%5Ccdot%5Cboldsymbol%7BR_n%7D%7D%5Cpsi_%7Bn%5Cboldsymbol%7Bk%7D%7D(%5Cboldsymbol%7Br%7D).

(2):%5Csum_ne%5E%7B-i(%5Cboldsymbol%7Bk%7D-%5Cboldsymbol%7Bk%5E%7B%5Cprime%7D%7D)%5Ccdot%5Cboldsymbol%7BR_n%7D%7D%3DN%5Cdelta(%5Cboldsymbol%7Bk%7D-%5Cboldsymbol%7Bk%5E%7B%5Cprime%7D%7D).

(3):%5Csum_%7B%5Cboldsymbol%7Bk%7D%5Cin%7B%5Crm%20FBZ%7D%7De%5E%7B-i%5Cboldsymbol%7Bk%7D%5Ccdot(%5Cboldsymbol%7BR_n%7D-%5Cboldsymbol%7BR_%7Bn%5E%7B%5Cprime%7D%7D%7D)%7D%3DN%5Cdelta(%5Cboldsymbol%7BR_n%7D-%5Cboldsymbol%7BR_%7Bn%5E%7B%5Cprime%7D%7D%7D).

(4):f(%5Cboldsymbol%7Bk%7D)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7BN%7D%7D%5Csum_%7Bn%7Df(%5Cboldsymbol%7BR_n%7D)e%5E%7Bi%5Cboldsymbol%7Bk%7D%5Ccdot%5Cboldsymbol%7BR_n%7D%7D.

(5):f(%5Cboldsymbol%7BR_n%7D)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7BN%7D%7D%5Csum_%7B%5Cboldsymbol%7Bk%7D%5Cin%7B%5Crm%20FBZ%7D%7Df(%5Cboldsymbol%7Bk%7D)e%5E%7B-i%5Cboldsymbol%7Bk%7D%5Ccdot%5Cboldsymbol%7BR_n%7D%7D.

构造局域Wannier函数:

W_n(%5Cboldsymbol%7Br%7D-%5Cboldsymbol%7BR_n%7D)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7BN%7D%7D%5Csum_%7B%5Cboldsymbol%7Bk%7D%5Cin%7B%5Crm%20FBZ%7D%7De%5E%7B-i%5Cboldsymbol%7Bk%7D%5Ccdot%5Cboldsymbol%7BR_n%7D%7D%5Cpsi_%7Bn%5Cboldsymbol%7Bk%7D%7D(%5Cboldsymbol%7Br%7D).

从定义中可以看出, 每一项有指数衰减因子, 所以是局域在%5Cboldsymbol%7BR_n%7D格点附近, 作局域近似

u_%7Bn%5Cboldsymbol%7Bk%7D%7D(%5Cboldsymbol%7Br%7D)%3Du_n. 可计算得到

W_n(%5Cboldsymbol%7Br%7D-%5Cboldsymbol%7BR_n%7D)%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7BN%7D%7D%7B%5Csqrt%7BV%7D%7Du_n%5Cdelta(%5Cboldsymbol%7Br%7D-%5Cboldsymbol%7BR_n%7D).

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