数学怎么学,最后谈下所谓考研数学的'歧视'

把某个数学up动态底下我的回复总结一下,写个专栏.我就假定是阅读这篇文章的读者对基础数学感兴趣吧,我的这些例子也比较基础数学.
基础数学的学习 主要有两种人,我们以建造房子为喻,一种人是建土房子,他们从地基开始一层层向上建,或许建好后也很不错,但是慢并且循序渐进的,不能跳过一层去建二层

第二种是建大厦.建大厦是这样的,在打好地基之后,会建造出整体的框架.建造速度非常快,几个星期就建完一整层.当框架建完之后,对哪一层感兴趣就去精装哪一层,很可能第一层没有土房子第一层精美,但是想去哪层就去哪层,很可能数学分析没有读透,实变函数就可以学完. 并且大厦非常高非常快,这是土房子所不能比的.

谈一些对如何框架大厦的基本结果,以电脑为喻吧
1.首先要有电脑(集合),然后在上面有软件(结构),怎么玩软件(研究对象),软件允许的操作(运算,推理),把握了这些就把握了对象的框架.线代/高代只是用不同的操作,研究相同的软件.有些课会升级软件,比如为了研究积分,引入实变.相当于软件升级,功能的更新.
2.有些软件同时运行会死机,为什么?有些软件同时运行会更好,比如看小说+听音乐.某个软件运行的最低配置是什么.

3.一个电脑,基本的问题是,能否安装软件,能否安装指定的软件,如何安装软件,引入哪些操作
4.这些软件就是模块化的力量.比如给一个新空间,当你知道,这上面有内积结构/度量结构/序结构/赋范线性结构,你就会把之前的东西完全的移植过来,实际上没有新知识的出现和吸收.

4.遇到陌生的集合,能不能通过映射,在保持相当结构的前提下,拉回到已知的空间中研究?顺着这个思路,自然的出现双射,反函数,同构同态同胚同伦同调.向深处走就出现了范畴论.

再以数分为例子,数分依赖R^n,以极限为手段研究函数的宏观/中观/微观现象.以1:1研究Δf,就是连续性.以Δx:1研究Δf,就是Δf/Δx,可微性.以1:Δx研究Δf,就是Δx|Δf|可积性.

总的来说,数学系的特点就是给一个崭新的电脑,系统/软件都自己安装甚至自己编写.别的系是给一个标准电脑,系统软件都写好了,会用就行.这也容易导致数学系未必基础软件用的比工科溜.

最后的针对所谓考研歧视的.我只讲这一种情况,就是很多双非/跨考的人,觉得学校歧视自己,一个面试/口试,就给挂了.但我以为很可能是只学会了应试,过于缺乏综合数学素养. 以年龄/性别为理由当然是真的歧视,不在我下述之类.

这种事不好说,主要是数学注重综合素养.
举几个例子吧
1.四五条实数系定理的等价性背的滚瓜烂熟,不知道怎么从Q出发构造R.
2.复变考的高,不知道多值函数怎么来,怎么取分支,不知道复数域是怎么构造的
3.实变考的高,不知道怎么从积分出发构造测度,不知道测度和函数的关系,不知道哪些测度不依赖拓扑,哪些测度依赖拓扑,乘积空间上的测度是怎么从底空间测度构造得到的
4.数分考的高,不知道连续,微分依赖什么样的空间结构,觉得常值函数总是连续甚至连续可微的.
这些问题书上是很难自学到的,考试也测不出来,但好的学校基本都会课上教授,就难办 我这还是假定了标准的书学过的情况下,很多时候,连课本都未必过的完.

我举得例子主要是分析,还没怎么涉及代数/分析/几何三者的交汇融合. 一交汇,就更难处理.
问个全纯函数环上各种理想的结构,就更能打翻一大片((
这样一出来,难免有考生觉得,这问的书上都没有,是不是故意刁难,歧视我,就难办

尤其是 这些是书上没有的一些基础性,结构性的问题.不知道依赖的对象/关心的问题,是做不了严谨的数学工作的.导致一些人觉得笔试都很高,被这些莫名其妙的问题一搞,就被反超了.
但其实没道理的,数分学完,不知道连续,微分在什么情况才有定义,实变学完,不知道乘积空间上有没有测度就用fubini定理,不知道测度和积分和函数的基本关系,不知道哪种拓扑有好的积分,人家导师干嘛要你一个只会做题的人,而不要一个学科框架搭好,只是做题比你稍差一点的人呢?