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图片来源｜网络

1．审题千万不能马虎

2．「不完全相同」的准确含义

3．需要去套「排列组合公式」吗？

4．选项较小，要采取简明的解法

5．包含多种速算技巧的难题

6．理解「河水流速」的关键

7．人性化的题目，坑也很多

8．将常用公式「举一反三」融会贯通

9．简单的题，两个干扰点

10．不会使用「直角坐标系」怎么办？

一、审题千万不能马虎

【2021年3月联考】小明去某楼盘售楼部咨询售房情况。置业顾问告诉他，如果再卖出50套，则已卖出的数量与未卖出数量相等；如果再卖出150套，则已卖出的数量比未卖出的数量多一半。

该楼盘目前还剩下多少套房子未卖出？
（A）350套
（B）450套
（C）550套
（D）650套

该楼盘目前还剩下多少套房子未卖出？
（A）350套
（B）450套
（C）550套
（D）650套

正确率47%，易错项B

以小明咨询时的情况为基准，列出题干数据关系：

①已卖出+50=未卖出-50
②已卖出+150=（未卖出-150）×150%
③求小明咨询时还剩下多少套房子未卖出

根据①可知「未卖出」=「已卖出」+100，将其代入②，得：

已卖出+150=（已卖出+100-150）×150%
→已卖出+150=（已卖出-50）×1.5
→已卖出+150=1.5已卖出-75
→225=0.5已卖出
→已卖出=450，未卖出=450+100=550，C选项「550」正确。

本题计算基本没有难度，从易错项B来看，难点主要在于对题干叙述的注意力上。

现实中肯定没有售楼人员会这么跟咨询者这么猜谜，因此在看到这种脱离实际的题目时，考生一定会优先把目光聚焦在「已卖出」「未卖出」这两个数据上，因此在解出「已卖出=450」这个数据后，就可能直接随手选了B「450套」，而忽略了问题要求的是「未卖出」。

本题陷阱很简单，但一半以上考生做错了，可见审题千万不能马虎。

二、「不完全相同」的准确含义

【2021年3月联考】不超过100名的小朋友站成一列。如果从第一人开始依次按1，2，3，...，9的顺序循环报数，最后一名小朋友报的是7；如果按1，2，3，...，11的顺序循环报数，最后一名小朋友报的是9。

一共有多少名小朋友？
（A）98
（B）97
（C）96
（D）95

一共有多少名小朋友？
（A）98
（B）97
（C）96
（D）95

正确率60%，易错项C

列出题干数据关系：

①不超过100名小朋友站成一列
②1~9循环最后报7
③1~11循环最后报9
④求一共有多少名小朋友

送分题。根据4个选项「95~98」均接近100和11×9=99的特点，直接通过③代入即可确定小朋友报数循环了8次。具体解析情况如下。

设共循环n次，得：
11×n+9=95~98

由于11×9=99，可确定n必然为8，小朋友总数=11×8+9=97。

根据②验算，得97÷9=10余7，符合条件，正确。

本题亦可使用代入法解析，注意无论使用「代入法」还是结合100以内乘除法的特点分析，都要优先考虑「1~11循环」，因为100以内11的乘法更加简单。

三、需要去套「排列组合公式」吗？

【2021年3月联考】随着人们生活水平的提高，汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。某地级市交通管理部门出台了一种小型汽车牌照组成办法，每个汽车牌照后五位的要求必须是：前三位为阿拉伯数字，后两位为两个不重复的英文字母（除O、I外）。

这种方法可以给该地区汽车上牌照的数量为：
（A）397440辆
（B）402400辆
（C）552000辆
（D）576000辆

这种方法可以给该地区汽车上牌照的数量为：
（A）397440辆
（B）402400辆
（C）552000辆
（D）576000辆

正确率55%，易错项B

列出题干数据关系：

①前三位为阿拉伯数字
②后两位为两个不重复的英文字母（除O、I外）
③求总的组合数量

根据①可知，前三位的总组合数量为「000」到「999」共1000种。

根据②可知，英文字母共26个，去掉2个，还有24个。由于不能重复，那么以A开头时共有除A之外的23种组合，以B、C、D……开头时也为23种，因此后三位总组合数量为：

24×23=552

结合①②可知，能够上牌的组合数量为：

1000×552=552000，C「552000辆」正确。

本题难度不高，但有将近一半的考生做错，原因主要在于对「排列组合」太过敬畏，但这道题事实上基本和「排列组合」无关。

从结果不难看出，车牌前后部分顺序固定（前三位阿拉伯数字，后两位为除了O、I之外的英文字母）；前半部分根据000~999的编号可直接确定结果为1000；后半部分根据英文不能重复的特点尝试代入A、B两个字母即可判定结果应为24×23——因此结果就是1000×24×23。

一定要先读题再解析，不要看到类似「组合方式」的表述就立即去套「排列组合公式」。

四、选项较小，要采取简明的解法

【2021年3月联考】某高校开设A类选修课四门，B类选修课三门，小刘从中选取四门课程，若要求两类课程各至少选一门，则选法有：
（A）18种
（B）22种
（C）26种
（D）34种

某高校开设A类选修课四门，B类选修课三门，小刘从中选取四门课程，若要求两类课程各至少选一门，则选法有：
（A）18种
（B）22种
（C）26种
（D）34种

正确率29%，易错项C

列出题干数据关系：
①A类选修课四门，B类选修课三门
②选取四门课程，两类课程各至少选一门
③求总的可能选法

本题4个选项数据都很小，可根据「两类课程各至少选一门」的限制，将A类选修课数量从少到多分类，共有「A1B3」「A2B2」「A3B1」3种选法，逐一分析。

「A1B3」类选法：

A类「4选1」，共4种
B类只能全选，共1种
共有4×1=4种

「A2B2」类选法：

A类为「4选2」=C（4，2）=6种
B类为「3选2」=C（3，2）=3种
共有6×3=18种

「A3B1」类选法：

A类为「4选3」C（4，3）=4种
B类为「3选1」共3种
共有4×3=12种

三者相加，共有4+18+12=34种选法，D「34」正确。

这道题一定要分类解析，否则很容易犯迷糊。

从不到30%的正确率来看，这道题的难度似乎相当高，但事实并非如此。虽然强行套公式难度很高，但根据选项可知选法最多不会超过34之间，这个数值已经非常小了，因此不要优先考虑套公式，简单「数数」反而可能更合适。遇到数值较小的「排列组合」类题目时，尽量把全部类别列出后逐个去数。

五、包含多种速算技巧的难题

【2021年3月联考】某商场为了促销，进行掷飞镖游戏。每位参与人员投掷一次，假设掷出的飞镖均扎在飞镖板上且位置完全随机，扎中中间阴影部分区域（含边线）即为中奖。该商场预设中奖概率约为60%。

仅考虑中奖概率的前提下，以下四幅图形（图中的正三角形和正方形均与圆外切或内接）最适合作为飞镖板的是：

仅考虑中奖概率的前提下，以下四幅图形（图中的正三角形和正方形均与圆外切或内接）最适合作为飞镖板的是：

（A）图形A
（B）图形B
（C）图形C
（D）图形D

正确率42%，易错项C

根据题干可知，当阴影部分区域占总区域最接近60%时符合要求。直接计算：

A选项：

设圆形的半径R（即等边三角形中心到顶点的距离）=2，则根据勾股定理和等边三角形的特征可知：

等边三角形中心到底的距离=1
等边三角形的高=2+1=3
等边三角形底的一半=√（2²-1²）=√3

阴影等边三角形面积=底×高÷2=底的一半×高=3√3
圆形面积=πR²≈3.14×4

阴影等边三角形面积︰总面积
=3√3︰3.14×4
≈3×1.73︰3.14×4

两边都约去3，得结果为1.73︰4+。根据「4×40%=1.6」可知，阴影占比在40%左右。

B选项：

设阴影圆形的半径r=1，根据等边三角形的特征可知：

等边三角形中心到顶点的距离=2
等边三角形的高=2+1=3
等边三角形底的一半=√（2²-1²）=√3

阴影圆形面积=πr²≈3.14
三角形面积=底×高÷2=底的一半×高=3√3

阴影圆形面积︰总面积
=3.14︰3√3

根据60%=3/5可知，比号左侧3.14略大于3，比号右侧3√3≈3×1.73≈5.2略大于5，且比号左侧数值小，增加值（0.14）也比比号右侧（0.2）略小，因此B选项结果与60%非常接近。

此时不需要精细计算，继续分析C选项：

设圆形的半径R（即正方形对角线的一半）=1，则根据勾股定理可知正方形边长=√（1²+1²）=√2，即：

圆形面积=πR²≈3.14
阴影正方形面积=边长²=（√2）²=2

阴影正方形面积︰总面积
=2︰3.14

快速心算可知：
2÷2/3（即66.7%）=3
2÷60%=3.33

3.14差不多在3和3.33中间，可据此推测：

2︰3.14的结果在60%和66.7%中间，大约为63%~64%。因此C选项不如B选项更接近60%，排除。

D选项可以直接和C选项对比分析：

从视觉观感中就可以确定其阴影面积占比高于C，直接排除即可。

当然也可以验算。设D中阴影圆形半径为1，则面积为3.14；此时正方形边长为2，面积为4。3.14÷4＞3÷4=75%，排除。

综合分析本题B选项阴影面积占比最接近60%，应选。

本题条件简单，目的明确，最大的难点就在于快速确定4个选项的具体数值。

从结果来看，BC两个选项都接近60%，因此如果单纯从视觉观感来判定是比较难的，必须想办法快速计算，因此谁能够熟练掌握各种速算技巧（例如根据情况设圆的半径，快速计算三角函数，估算开方估算√2、√3等开方数等），谁就能又快又准地解对这道题。

注意本题BC两个选项的估算技巧，对于提升解题效率非常有用。

六、理解「河水流速」的关键

【2021年3月联考】大江两岸有两个正面相对的码头，可供客轮往返。如下图所示，根据河流水文情况，「幸福号」客轮星期一沿着河岸60度夹角方向前行，刚好到达对岸码头，星期二「幸福号」准备返回时，发现河流水文情况发生变化，船长调整航向，沿河岸30度夹角方向返回，顺利到达码头。

假设客轮往返速度均是v千米/小时，且行驶过程中河水流速是恒定的，问返程时河水流速是去程时的多少倍：
（A）√3
（B）√3/3
（C）1/2
（D）2

假设客轮往返速度均是v千米/小时，且行驶过程中河水流速是恒定的，问返程时河水流速是去程时的多少倍：
（A）√3
（B）√3/3
（C）1/2
（D）2

正确率39%，易错项BCD

本题题干特别长，且叙述起来很罗嗦，导致大部分考生没有做对，其实题目本身特别简单。

首先分析出发时的情况：

出发码头为A，对面码头为D，若河水静止时到达点为B，由B向A侧河岸作垂线相交于C，得直角三角形ACB。

不难发现，如果河水静止，则客轮到达B；而客轮实际到达D，说明航行途中流水推动的距离=DB=CA。

同理分析返程时的情况：

根据上述分析同理可推出，客轮返程时若河水静止则到达C'，因此实际上流水推动的距离为C'A=B'D。

根据30°和60°三角函数的特点，可设「去时流水路程」=AC=1，则：

去时路程=AB=2
回时路程=C'D=2√3
BC=B'C'=√3

「回时流水路程」
=B'D=√（2√3）²-√3²
=√（12-3）
=√9=3

即：

回时流水路程︰去时流水路程=3︰1

船速固定，且回时路程︰去时路程=2√3︰2=√3︰1，「时间」与「路程」呈正比，得：

回时时间︰去时时间=√3︰1

可得「回时速度」︰「去时速度」
=回时流水路程/回时时间︰去时流水路程/去时时间
=3÷√3︰1×1
=√3，A选项「√3」正确。

这道题的核心是作图。当延长两条船与河岸夹角的航线，并意识到「流水推动的船的路程，等于假设河水静止时直角边的长度」后，再根据三角函数的特点设值，这道题就能轻而易举地解出了。

注意速度不变，时间和路程呈正比，找到好的角度设值即可快速解出。

七、人性化的题目，坑也很多

【2021年3月联考】一个不计厚度的圆柱型无盖透明塑料桶，桶高2.5分米，底面周长为24分米，AB为底面直径。

在塑料桶内壁桶底的B处有一只蚊子，此时，一只壁虎正好在塑料桶外壁的A处，则壁虎从外壁A处爬到内壁B处吃到蚊子所爬过的最短路径长约为：
（A）10.00分米
（B）12.25分米
（C）12.64分米
（D）13.00分米

在塑料桶内壁桶底的B处有一只蚊子，此时，一只壁虎正好在塑料桶外壁的A处，则壁虎从外壁A处爬到内壁B处吃到蚊子所爬过的最短路径长约为：
（A）10.00分米
（B）12.25分米
（C）12.64分米
（D）13.00分米

正确率45%，易错项BD

题干给出了连接AB的虚线，也给出了在圆柱顶面且位于AB之间的C点，其实是在明示考生优先考虑这两条路线，还是比较人性化的。

由于圆柱桶底封闭，不难看出壁虎想要「进桶」，就必须经过桶顶。那么想要经过桶顶且距离较短，只能优先考虑题干标注的两条路线：

第一种：从桶外A点直上到桶顶A'再回到桶底A（不计厚度），然后沿AB虚线到达B点，如图：

桶高h=2.5分米，则壁虎从A→A'再返回A共爬了5分米。

底面周长24分米，根据πd=周长可知：

d=24÷π
=24÷3.14

使用「乘法反推」，根据3.14×7≈22和3.14×8≈25可粗略估计，24÷3.14比7.5大一些，因此通过第一种路线所爬过的路径约为：

5+（7.5+）分米。

正好C选项有「12.64分米」这个非常接近的答案，符合条件。

第二种：从桶外A点斜上到桶顶C再回到桶底B，如图：

为使路线最短，则AC=AB。

也就是说，将圆柱体侧面展开，△ACB为等腰三角形，此时AB=1/2周长=12分米，C到AB的高=h=2.5分米，如图：

由C点向AB作高，可得AD=BD=6分米，此时要求的就是一个简单的勾股定理计算。

壁虎爬行的距离
=AC+CB
=2AC
=2〔√（6²+2.5²）〕
=2〔√（12²+5²）〕÷2
=√（144+25）
=√169=13分米，对应D选项。

也可以直接延长AC然后在延长线向B点作垂线，此时新形成的大直角三角形的斜边就是2AC，计算结果是相同的。

由于12.64＜13，因此C选项「12.64分米」为正确答案，应选。

本题在题干中直接给出了潜在正确答案，较为人性化，但计算还是比较复杂的。

题干中有几个较为容易出错的地方：

一是第一种方案计算24÷3.14时，这是个三位数的除法，较为复杂，硬算较为花时间。熟悉「资料分析」公式的小伙伴会立即发现14×7≈100这个特点，通过「乘法反推」可快速锁定正确答案范围。

二是第二种方案计算式忘了将AB「展开」，误以为AB的距离还是直径d。

三是对「√（6²+2.5²）」这个计算不会化简。其实，这种平方后加减再开方的公式在勾股定理类题目中经常出现，根号里面乘以多少，根号外面除回来就可以了，让式子简明是最重要的。

这道题题干简单但计算过程有很多坑，考生提升自身的计算能力非常重要。

八、将常用公式「举一反三」融会贯通

【2021年3月联考】如下图1所示，在一个金字塔造型（底面为正方形，侧面为四个全等的等腰三角形）的铸造件内部挖空一个圆柱。现沿铸造件顶点A且垂直底面的方向切开，切开后的截面如下图2所示：

已知DE、GF为圆柱的高，BC=4√2分米，DE=2分米，AO=4分米，那么挖后铸造件的体积是：
（A）128－4π立方分米
（B）128/3－4π立方分米
（C）64/3－4π立方分米
（D）64－4π立方分米

已知DE、GF为圆柱的高，BC=4√2分米，DE=2分米，AO=4分米，那么挖后铸造件的体积是：
（A）128－4π立方分米
（B）128/3－4π立方分米
（C）64/3－4π立方分米
（D）64－4π立方分米

正确率48%，易错项C

分析题干可知：

挖后铸造件的体积
=挖前铸造件的体积-挖掉的体积
=「金字塔」体积-「圆柱」体积

「金字塔」体积
=1/3×「金字塔」底面积×高
=1/3×BC²×AO
=1/3×（4√2）²×4
=1/3×32×4
=128/3

「圆柱」体积
=「圆柱」底面积×高
=π×（OE）²×DE

∵DE、AO均垂直于BO
∴△BDE与△BAO相似
∴DE︰AO=BE︰BO=2︰4

BC=4√2分米，可得：

BE=1/2BO=1/4BC=√2分米
OE+BE=BO，即OE也为√2分米

因此π×（OE）²×2
=π×（√2）²×2
=4π

可得挖后铸造件的体积为128/3－4π，B选项「128/3－4π立方分米」正确。

本题难点在于「金字塔」体积的计算。

回顾这道题不难发现，题干条件较为简明，计算过程也不是很复杂，但「金字塔」的体积计算公式在中学数学没有专门学到，导致很多考生因不了解该公式而做错。

事实上，几何类题目的计算都是有通用规律的。以二维平面几何来说，所有的三角形和梯形的面积计算公式都是通用的，即：

面积=（上底+下底）×高÷2

此时三角形可视为上底为0的四边形，正方形、长方形、菱形可视为特殊梯形。

同样，规则的三维立体图形，都有相同的体积计算公式，即：

棱柱体／圆柱=底面积×高
棱锥／圆锥=1/3底面积×高

套用到本题中即可解出正确答案。

备考时「举一反三」非常重要，将常用公式融会贯通才能在考场上灵活应变，找到正确的方向。

九、简单的题，两个干扰点

【2021年3月联考】某装修公司订购了一条长为2.5m的条形不锈钢管，要剪裁成60cm和43cm长的两种规格长度不锈钢管若干根，所裁钢管的横截面与原来一样。

不考虑剪裁时材料的损耗，要使剩下的钢管尽量少，此时材料的利用率为：
（A）0.998
（B）0.996
（C）0.928
（D）0.824

不考虑剪裁时材料的损耗，要使剩下的钢管尽量少，此时材料的利用率为：
（A）0.998
（B）0.996
（C）0.928
（D）0.824

正确率51%，易错项C

分析题干对应关系，不难发现要求的是这样一个关系式：

设60cm和43cm长的不锈钢管各截取了x根和y根，得：

60x+43y≤250

其中x、y为正整数，且左侧结果尽量接近右侧。由于关系较为明确，可直接快速代入所有可能。从较为明显的「60×4=240」开始，逐个分析：

60×4=240（此时y=0不成立，仅作为一个参考量）
60×3+43×1＜240
60×3+43×2＞250，排除
60×2+43×3=249＞240
60×1+43×4=232＜240，排除
43×5=215＜240，排除

可发现x=2，y=3时得到的249最符合题干要求，计算得：

249÷250
=（249×4）÷1000
=99.6%，C「0.996」正确。

本题绝对难度不高，但有两个干扰点：

一是没有逐一列出裁剪的可能性。根据统计分析，有将近一半的考生误选了C「0.928」，这就是把「60×1+43×4=232」列出后直接当正确答案来计算了，实际上还有更接近的选择。

二是被「立体损耗率」所迷惑了。当计算涉及到平面、立体之后，经常会被用平方、立方的方式放大，所以有的小伙伴在解这道题会犹豫，会思考要不要给结果在平方或开方。

事实上在本题中，钢条的体积=底面积×高，而要求的数据只涉及高，因此计算结果是多少，利用率就是多少，不需要再平方或者开方了。

本题的两个干扰点较为常见，再遇到类似的题时要有所警惕。

十、不会使用「直角坐标系」怎么办？

【2021年3月联考】某公司职员小王要乘坐公司班车上班，班车到站点的时间为上午7点到8点之间，班车接人后立刻开走；小王到站点的时间为上午6点半至7点半之间。

假设班车和小王到站的概率是相等（均匀分布）的，那么小王能够坐上班车的概率为：
（A）1/8
（B）3/4
（C）1/2
（D）7/8

假设班车和小王到站的概率是相等（均匀分布）的，那么小王能够坐上班车的概率为：
（A）1/8
（B）3/4
（C）1/2
（D）7/8

正确率9%，易错项BC

列出题干数据关系：

①班车7点~8点到车站
②小王6点半~7点半到车站
②求小王坐上车的概率

本题「班车和小王到站的概率是相等（均匀分布）」这一条件较为少见，导致很多考生没有准确理解题干的含义。有两种解法：

第一种：「直角坐标系」法

如果熟悉「直角坐标系」的话，直接画坐标分析，如图：

图中的大正方形就是「小王所有的到达时间」和「班车所有的到达时间」的总面积（即概率之和为1），可发现：

斜线左上侧「白三角形面积」=小王没有赶上班车的情况=1/8个正方形
斜线右下「阴影三角形面积」=小王赶上班车的情况=7/8个正方形

因此小王能够坐上班车的概率为7/8，D「7/8」正确。

第二种：列出概率直接计算

由于小王「到了车站要等班车」，一眼可看出只要小王7点之前到就一定能等到班车，7点之后到有几率赶上班车，因此可锁定正确答案必然超过1/2，即在B「3/4」和D「7/8」之中。

进一步分析，可确定小王赶上列车的区间至少占据3/4，而在「小王、列车都在7点至7点半到车站」的范围内仍存在小王不迟到的情况，可确定结果比3/4大，从而锁定D选项「7/8」正确。

虽然本题通过推理即可解出正确答案，但在备考时还是要了解其原理。如果不熟悉「直角坐标系」，可以根据下面的情况来分析：

首先根据「小王6点半至7点半到车站」和「7点之前到就一定能等到班车」，可确定小王「7点至7点半到车站的概率为1/2」。

然后根据「班车7点至8点到车站」和「7点半之后到小王一定能赶上班车」，可确定班车「7点至7点半到车站的概率为1/2」。

而「7点到7点半之间」小王和班车到达的可能性完全一致，因此在此区间小王能赶上班车的概率和赶不上班车的概率相同，也是1/2。

概率为1/2的推断过程如下：

当小王和班车都只能在这30分到达且任意时间到达概率都相同时，可按照每分钟的情况将其分为30份，然后：

7点时小王赶上班车几率是0；
7点1分小王赶上班车几率为1/30；
7点2分小王赶上班车几率为2/30；
……
7点30分时小王赶上班车几率为30/30。

将30个分钟的概率一平均，可发现结果就是15/30，即1/2，即赶不上班车的概率也是1/2。

因此小王赶不上班车的概率=
「小王7点至7点半到车站的概率」×「班车王7点至7点半到车站的概率」×「在这个时间段小王赶不上班车的概率」
=1/2×1/2×1/2
=1/8

即「小王赶上班车的概率」=1-1/8=7/8，D选项正确。

通过「直角坐标系」计算概率是中考时期出题者最喜欢设置的难题之一，但在公考中较为少见。本题题干特别简明，正确率特别低，可以看出绝大部分考生对其并不是很熟悉。建议各位小伙伴通过本题来熟悉相关内容，做到有备无患。

不会使用「直角坐标系」也要学会推理，从而锁定D是唯一可能正确的选项。