数学实现信号分析[2]: 复数傅里叶级数

上一篇我说了这个:

第一条式子不同了的原因可以结合上一篇结尾, 然后自己思考一下

在复数里有一条很著名的公式叫做欧拉公式:

它表述的意思就是  e^jθ  在几何上就是 (在复平面里) 以0为圆心, 半径为1的圆

把式子看成是参数方程  {x=cosθ, y=sinθ} 就是了

根据这条公式可以变形得到sin和cos的复数形式:

没必要想懂这两条式子的几何意义, 现在只要知道等号两边相同就可以了

把这两条新版sin和cos塞到上一篇的式子里面:    (为了看起来顺眼, 我记 1/T 为 w0)

化简得:

然后我们如法炮制  (an+jbn) 和 (an-jbn) 得:    (这里有捷径化简的, 期待一下在天国的附章吧)

然后结合三条复数式子看看, 就会发现结构是一模一样的, 只是差了一个负号

那么我们可以把负号与n结合, 这样n不就可以取到负数, 并且式子长度也化简了一半

***注: 上一篇n=0这一项要除以2的伏笔就在这里, 因为 -0=0 , 所以在实数计算要比在复数计算的时候会 n=0 会被累加多了一次***

则化简完的式子为:     (尝试一下自己化简吧, 或者继续等待在天国的附章)

这个式子看起来好像很难懂, 事实上这个式子非常有几何意义, 所以

摸了