【官方双语/合集】微积分的本质 - 系列合集
01
由具体例子 路程、圆的面积的累和 引入函数的面积 与 用无限细分后的 长方形面积的累和 是一样的。（用不断细分后的均匀的累加来近似非均匀）
引出许多问题都可以转化为求函数面积，那如何求函数面积呢？或者说如何求函数面积A与函数自变量x之间的函数关系A（x）？
可以先得到dA(x)与dx的关系，即dA（x)=dx*f(x).即A(x)的导数即为f（x）。
（几何上直观看出 函数变上限积分的导数 就是 函数本身。)
本视频主要讲了微积分的基本定理，即积分和导数可以相互转换，具体来说就是某个图像面积的导数就是这个图像的函数.（即dA/dx=f(x)）
02-导数的悖论
求导公式是用定义求极限得出来的。
本期通过“瞬时变化率”引入了导数的概念，即dt趋近于0时的ds/dt。这里的dt表示一段微小的时间差，注意这是一个具体的差值而不是无穷小，ds代表dt对应的距离差。
所以说，所谓的“瞬时变化率”就是那一点的速度，这样的的说法是矛盾的，详见下列例子
（实例解释瞬时变化是不存在的）而定义dt是个具体的时间差，导数就是一个dt趋近于0时的一个比值，就解决了这一问题。这样某点的导数 也就是 函数在某点的切线斜率 也是所谓的“瞬时变化率” 就不是那一点的速度（变化率），而是在 “那一点附近变换率” 的最佳近似(附近变换率的极限）。
03-用几何来求导
本期介绍了用函数的几何上的表示方法，找到df和dx的在dx趋近于0时的比值。
dx趋近于0时，df的分解式子中dx的高阶就可以忽略掉。
代数方法结合几何证明幂函数高阶导数的求导公式
用几何理解求导公式的意义
后面用几何的方法求了1/x，x^1/2，sinθ，cosθ的导函数。即先找到函数表示的几何意义，从而找到df与dx的关系，再求极限。
三角函数对df/dx求在dx趋于0时的极限时，df/dx，即可化为一个直角三角形中的角的正弦（余弦）值，极限下，这个角的大小正好于θ值相等。故得(sinθ)'=cosθ,(cosθ)'=sinθ。
04-直观理解链式法则和乘积法则
本期通过可视化的方式去直观地理解 加法求导法则，乘法求导法则，以及 复合函数的链式求导法则。(最好是自己手动结合图像推导一遍，理解和印象才比较深刻）
加法法则
通过在直角坐标系中累和来可视化，图像中可看出 d(f+g)=df+dg=f'dx+g'dx
乘积法则
注意:红色部分是d(sinx)*d(x^2)=2xcosx (dx)^2,是dx的高阶无穷小可忽略。
d(gh)=hdg+gdh+dgdh
复合函数链式求导法则
把内层函数x²看做一个自变量h来研究外层函数sin的微分dsin(h)
用链式法则求导出的最后表达式含义：例如x=1.5时，公式表示在x=1.5这个地方x每增加dx，第三条横轴上增加大约是cos(1.5²)*2*1.5*dx的长度（大约是因为微分再加上一个高阶无穷小才是增量）
链式求导法则内容：
先把内层函数看做整体h，对外层求导后再对内层求导。即，复合函数g(h(x))的导数 等于g的导数在h时的值 乘以h的导数。
d(g(h))=g'(h)dh=g'(h)h'(x)dx
总结链式法则
dh的消去不止是符号上的技巧， 而是真实反映出我们在求导时，各种微小变化量发生了什么。（dx乘以dh/dx是dh的变换量，再乘以dg/dh就是dg的变化量。）
本期是想表明那些求导法则并不是死记硬背的东西，而是很自然的规律。
05-指数函数求导
用代数的方法而不是几何的方法来研究指数函数（以2^t为例）的导数。
发现指数函数2^x取极限时的变化率（也就是导数），不等于指数函数本身，而是和自己成一定比例。
当取底数a为2.71828……时，指数函数变化率就是指数函数本身（比例是1），称这个常数为e。e就是这样定义的，具体式子中可以发现底数为e时，取dt的极限，e^dt-1与dt之比是1，即e^x的导数就是e^x。
e定义的来源：底数为e时，指数函数导数是自己本身。
借助e^x的导数就是e^x来研究其余 变化率是和本身成一定比例的 指数函数a^x。 借助a=e^(lna)，把a^x化为 e为底的指数函数 与 幂函数 的复合函数。（根据对数函数的定义，ln2就表示 e的ln2次方等于e。）
通过链式求导法则，发现系数就是lna
在许多自然现象中，有很多量并不直接不表现为a^x这种指数函数的形式，而是表现为 这些量的变化率和这个量本身成正比 的现象。具体例子有水杯温差的变化率与温差本身成比例，投资中金额的变换率与金额本身成比例。
就在对这些量进行数学建模时，都改写为以e为底的指数函数是自然的，因为我们通常只知道他们之间的比例系数-k（或叫1+r等），改写为e时 变化率和数量本身的 比例系数-k就是 改写后的指数部分的 常系数-k 。（如下图）本质是由于e^x的导数就是e^x。改写以a为底的时候或者其他的如以π为底的时候都不具备这个性质，可以手动算下试试。
06-隐函数求导是怎么回事？
几何的方法是半径的斜率与切线斜率的积是-1.
从求弧线上任意一点的斜率引入，隐函数求导。
疑问：对隐函数两边求导好像并没有什么意义。不像平常的函数一样，是由一个自变量的变化，引起了一个因变量的变化。
隐函数求导的方法中，dx和dy并没有一个东西引起他们的变化，好像失去了以前的意义。
相关变化率问题
引入一个相关变化率的实例，虽然是同一个表达式，但这个例子中是有一个自变量t的变化dt，引起dx和dy的变化，两边求导是有明确意义的，是求一个表达式对时间的变化率。求导后右边是也0，意思是dt的变化引起x^2+y^2的变化是0.（右边的数表示整体变化量是自变量变化的几倍）
为了解决上面的疑问，就将x^2+y^2整体赋予一个字母S，不同的xy对应不同的S，这里的S是点（x，y）距离原点的距离的平方。对式子求导就变成了求dS，如此便有了意义，求dS就是看x y分别变化了dx和dy后，引起S的变化dS是多少（这里的dS和所有求导出的变换量一样，只是ΔS的近似值，但在自变量无穷小时没区别）。
求导后dS=2xdx+2ydy=0，就是表示dx、dy无限小时，每走一步dx和dy，dS变化为0，点（x,y）还是落在圆上的。
实际上每走一步dx，dy是落在圆的切线上的，而且求导出的ds，也是ΔS的近似值。只是在dxdy越来越小时，dS就越近似ΔS，dx和dy也是落在圆上。ΔS=(x+dx)^2+(y+dy)^2-(x^2+y^2)=2xdx+2ydy+(dx)^2+(dy)^2=dS+高阶无穷小
新例子来总结隐函数求导的意义。
点（x，y）每移动一步dx和dy，左边求导后式子表示引起左边的变化量，右边求导后式子表示引起右边的变化量。两边变化量是相等时，就（x，y）就继续落在这个曲线上。
用隐函数求导的方法 来从 已知函数的导数 求 未知函数的导数。
举了用已知e^x的导数，来求lnx的导数的例子。可以推广到用已知函数的导数，求其反函数导数的公式（方法）。
07-极限
这期视频的几个作用：
1.将前面讲的导数df/dx，与教科书中的定义联系起来，从定义看df和dx确实是具体存在的非零变化量
2.用“ε-δ”语言来解释什么叫“逼近”
3.洛必达法则的由来
导数正式定义
关于dx的看法
因为这样不仅可以更直观地理解 微积分的法则是怎么来的（如：加法、乘法、链式）；还因为导数的定义也是这么看的，h是具体的量，然后考虑这个量很小的时候的情况（趋近于0），但也还是一个具体的量。
视频进而引入极限的定义，说明极限的定义也是如此认为的，h→0时，也就是h是属于（0，δ）的一个去心邻域的一个量。（极限定义了导数，当然对于h的看法是一样的）
开始极限部分，正确理解 一个变量逼近另一个变量的含义
引入情景，结合图像，准确给出 逼近的定义
“ε-δ”定义的意义：这是体验到一点 实分析，也是体会微积分创造过程中怎么从一个直觉的理念不断完善细致的。
洛必达法则的证明 中体会 极限的思想。
估算方法
效仿估算方法，取一个值1+dx，dx越小，比值越精确。
目的是求函数在x逼近1时的逼近值，则在x=1附近取一个相距dx的x值1+dx后，转化为求f(1+dx)/g(1+dx)的极限，（体现极限思想，附近的x不断逼近1时，附近的函数值也在不断逼近图像中的那个未定义点）也就是f(1+dx)-0/g(1+dx)-0，dx无限小时，曲线即是直线，便是df/dg,函数变换量又可以用dx的式子表示，得f'(1)dx /g'(1)dx，即求f'(1)/g'(1)（这里体现思想，dx无限小时，函数变化量df、dg，自变量变化量dx都还是具体的值，所以df和dg才可以近似Δf和Δg，所以dx才可以相消去）。
从具体的函数推广到任意两个在a点可导但函数值为0的函数的比值。
导函数定义中也是0/0极限，但不能用洛必达法则来求这个函数的导数，以此得到新的求导公式，因为前提是要知道这个函数的导数。
所以再推导求导公式中并没有无脑通用的解法，只能根据具体情况发挥想象构造具体的图形来推导。
08-积分与微分基本定理
微积分基本定理：积分和导数可以相互转换。
最终体现在牛顿—莱布尼茨公式上，本期也将推导出这个公式。求积分值就是求原函数的在上下限处的函数值之差，求原函数的过程就是求导的逆运算。
本期将详细介绍 在直觉上合理明显的微积分基本定理，并证明。（直觉上显而易见是指 函数的变上限积分 的导数就是 函数本身，即dA(x)/dx=f(x)。）
逆运算是指：先积分再求导还是函数v(x)本身。（是v(x)还是v(t)还是v(T)都是一个函数，对应关系和定义域一样，就是同一个函数）
或者说是 v(T)积分变为∫0T v(t)dx，对后面求导有变成了前面。
引入开车实例，如何从速度表推出走了多远。
对第二章微分相对应，与之正好相反，这次从v(t)求s(t)，即求v(t)原函数。
用均匀近似非均匀然后取极限，就得到了精确解。
选哪一个不重要，重要的是取得一系列近似不论取成什么没结果都会随着dt的不断减少而变得越来越好。
积分各部分的含义
为什么叫做积分
将求非均匀的速度走过的路程 换成了 求面积的问题。
许多完全不相干问题都可以转化为求函数图像与横轴所围成的面积的问题，下期将详细介绍。本期先介绍如何求这个面积。
第一期的思想和导数结合起来。
速度定义结合图像就能得到面积导数就是v(T)。
所以现在知道了A(x)的导数是v(t)，v(t)分开一项一项看就可根据导数倒推出原函数。
有很多个原函数
那具体哪一个原函数才是这个变上限积分的函数呢?之前利用了导数是v(t)确定了常数项以外的部分。现在可以利用积分下限a（这里a=0），来确定常数项C。当T取积分下限a的时候，总面积是0，
变上限积分s(T)=s(a)=0=（4a²-1/3a³）+C
所以C=-(4a²-1/3a³）这里a=0
也可以说当C=-(4a²-1/3a³）时，就确保了若T取积分下限a（即T=a），积分的函数值s(T)就一定是0。
即使确定部分原函数时带有常数项，也不影响方法的使用，因为C取积分下限函数值得相反数，就可以保证常数项会相消去。
推广至一般函数求积分
求积分就是求面积，而面积函数的导数就是被积函数f(x)，所以
第一步找被积函数f(x)的原函数F(x)，F(x)的要求就是导数是f(x)。
第二步就是原函数F(x)在上限时的值F(b)减去下限时的值F(a)，就得到了积分的值。
这个求积分等式就是微积分基本定理。
回顾总结
求路程→求面积→A'(x)=v(x)→求原函数→
确定常数项C→牛顿莱布尼茨公式（微积分基本定理）
求路程可以化为求面积，抽象出来的原因是因为ds(t)=dv(t)*dt，也就是s'(t)=ds(t)/dt=dv(t).
对“负面积”的理解，负面积说明v是负的，车是向后开的，s是减少的，所以总的积分值就是正的部分的面积减去负的部分的面积。
09-面积和斜率有什么联系
积分新的应用：求连续变量的平均值
本期将提供一种新视角讲导数与积分互为逆运算。之前的视角是dA/dx=f(x)。（新视角是指f(x)平均值 就是 F(x)区间各点切线斜率的平均值,即区间割线斜率。）
平常中的平均值都是有限量，我们可以相加再除以数量的到平均值。但连续变量中数量有无数个。
仿照积分的方法，先用有限个数值相加来估算，再随着取点数目的增加而不断近似。
上面就相当于把sinx*dx的项累加了起来，随着取点数量的增加，上面就越来越接近sinx从0
到π的积分。
具体计算后发现，积分值也就是面积，等于原函数的区间端点函数差值。（这里等于2）
这里说的斜率是F(x)割线斜率乘以区间长度（b-a）就等于f(x)的面积。
从代数上利用之前的牛顿-莱布尼茨公式得到的等式，在几何上为什么是有联系的？
推广到一般函数的总结
为什么求连续函数平均值可以变为求积分除以区间长度。
进而等价于求F(x)割线斜率。
总结为什么求导和积分互为逆运算的两种视角。
第八章中 导数和积分互为逆运算 是因为函数f(x)的面积函数（即变上限积分）的导数就是函数f(x)本身，所以求积分就是求原函数。（体现原函数就是解决积分问题的关键，求积分就是求原函数）
本期视频的 导数和积分互为逆运算 的新视角是，把求一个连续函数f(x)的平均值 转化 为求原函数各点切线的平均斜率 时，只需考虑起点和终点构成的割线斜率，而不用考虑任何中间点。（体现原函数（F割线斜率）就是解决积分问题（f(x)平均值）的关键）
什么时候用积分？
上期讲的 能用积分的情况
1.可以通过 细分再相加的方式估算时，如汽车变速运动的路程。
2.有限个数量相加推广到连续变量，也就是无限个数量相加时，可以用积分。这种直觉在概率论中经常出现。（如：定积分定义求数列极限）
09脚注-高阶导数
二阶导数是导数的变化率，二阶导 为正，导数（斜率）增加。
x=4这个地方，二阶导数很大，是因为导数的变化率很大。
简写为d²f/dx²。
二阶导符号含义，讲这个符号是怎么来的，代表着什么。
对于一个确定的某个x来说，d(df)与(dx)²成正比。
d(df)记作d²f，是dx趋近0时，微分的变化量；下面的dx²表示dx*dx，是自变量微小变化量的平方。
