2023阿里巴巴全球数学竞赛预选赛题/决赛部分题个人解 (六)

概率与统计题 2. 对每个正整数 ，找出最大的实数  使得以下性质成立：对每个  双随机矩阵 （双随机矩阵是指所有元素均为非负实数且每行每列的元素之和均为  的方阵），都存在  上的置换  使得  对每个  都成立。

首先说明答案：。

设 ，并记 ，，则每行、每列的  个元素中至少有一个属于集合 。由 Hall 定理， 中存在某个  子矩阵，其中每个元素均属于集合 （不妨设该子阵位于  左上角），则前  行后  列元素之和不超过 。因此前  行一定有某一行后  列元素和不超过 。从而 ，即 。

下面再给出  的构造。当  为奇数时，取 。令  可得 。若存在  使得 ，则前  行后  列中至少有  个元素在集合  中，矛盾。因此 。

当  为偶数时，取 。同理可以证明 。

经过分析不难看出这是一个相异代表系，而对此本人只知道 Hall 定理，所幸这样问题就可以做出来。

概率与统计题 3.  为正整数。对  定义

其中  是  中第  个最小的数，实数 。定义一个标准均匀变量是随机变量  满足  对所有  成立，一个次均匀变量是随机变量  满足  对所有  成立。

令  为一组独立的标准均匀变量，证明：

(a)  为标准均匀变量。

(b)  为次均匀变量当且仅当 。

本题是对 Bonferroni 校正的优化，(a) 问是经典结论，(b) 问不知道从哪里来的。

(a) 用数学归纳法证明。当  时结论显然成立；当  时，若 ，则要么二者有其一不大于 ，此时 ；要么二者均大于 ，此时 。因此 。

若结论对  均成立。当  时，设  中有  个数不大于 ，这一概率为 。将这  个数从小到大排序为 ，则  当且仅当存在  使得 。

当  确定时，令 ，则  为  上的均匀分布，且存在  使得 。对这  个数和  使用归纳假设可知此时满足  的概率为 。故 。

因此

其中，对于 ， 的系数为

因此 。

(b) 比较奇怪，积分放缩了半天对  出不来。而且这个题的结论对  直接就是错的，不太清楚这题怎么搞。

这专栏写公式太痛苦了！以后不写了，再见