《虚数不虚》第九节 数字拼图游戏

在我们开始新的内容之前，我们来回顾数字发展的历史。

在第一节中，我们回顾了数字从自然数到实数的发展历程：

然而，数字的每一次扩充都不是轻而易举的，这启示我们需要发明一种新方法来检验数字有无扩充的空间。幸运的是，数学家找到了这种方法，叫“运算封闭性检验”。

要理解封闭（Closure）这个概念，我们首先把全体自然数看成一个集合。

然后我们来玩个拼图游戏：

我们在这个由全体自然数组成的集合（自然数集）中任取两个元素，然后把它们加在一起，看看结果是否属于这个集合。我们要检验任意两个自然数相加后是否还是自然数。经过尝试，我们很容易得出两个自然数相加后还是自然数。数学家把这种不“溢出”的性质称作运算的封闭性。在这个例子中，自然数集对加法封闭。

接下来，我们把加法换成减法运算。我们首先尝试3-2，结果等于1，还是自然数。但换成2-3呢？我们的结果“溢出”了自然数集，所以自然数在减法运算上不封闭。我们需要把0和负数包含进来，这便是整数。整数对加法和减法封闭。

为了包含更多的代数运算，我们需要继续扩大我们的数字。比如要使我们的数字对除法封闭，我们引进了分数，这便是有理数。顺带一提，有理数（Rational number）这个词来自比率（Ratio）。比率就是两个整数相除的结果，也就是我们常说的分数。

在这里，让我们用韦恩图（Venn Diagram）来表示自然数（简写为N）、整数（简写为Z）与有理数（简写为Q）之间的关系：有理数集包含整数集，整数集包含自然数集，用韦恩图一目了然，它直观地表达了“谁包含谁”的关系。

让我们回顾一下，在有理数集中，有哪些运算是封闭的？

先说加、减、乘、除。我们很容易验证任意两个有理数相加、相减后仍然是有理数，类似地，两者相乘、相除仍是有理数。所以我们说有理数对加、减、乘、除封闭。

好，我们再来考虑别的运算，比如乘方、开方运算，有理数集对乘方运算封闭吗？

如果你读过高中，你应该知道一个数的分式幂代表乘方运算（分子）与开方运算（分母）的组合，我在这里不再累述。熟悉分式幂的读者不难想到2^(½)，也就是√2这样一个例外。有兴趣的读者可以在拓展中阅读更详细的证明过程。

我们把这种数叫无理数（Irrational Number）。无理数中有另一种数叫超越数（Transcendental Numbers），如π和e。无理数和有理数一起组成了实数（简写为R）。

让我们再用实数集玩一次拼图游戏。是否存在一个实数，它的平方根不是实数？相信你已经知道了我要说的这个数，他的平方根就是虚数单位：√-1。我们在实数的基础上把虚数包含进来，这便是复数集（简写为C）。

最初，数学家们担心复数集对开方运算不封闭：比如√-i。幸运的是，没有复数不能处理的运算。事实上，把√-i转换为极坐标形式1∠-90°。根据乘法性质，√(1∠-90°)=1∠-45°=√2/2*(1-i)。所以√-i还是复数！复数是完备的数集。

虚数是使数字完备的最后一块拼图！

拓展

一、证明√2是无理数

你可能听闻数学的三次危机。没错，第一次数学危机便与此有关。

今天我们用反证法来证明这明不是有理数：

假设√2是有理数，那么他可以表示为两个整数之比，我们假设：

√2=m/n

其中m/n是最简分数（想想看，为什么要这样假设？）

我们把等式两边平方：

2=m²/n²

于是有

m²=2n²

这说明m²是偶数，那么m一定是偶数。

（因为数字的奇偶性不随数字平方改变，奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数）

因此，我们不妨设：

m=2k

把它带入m²=2n²，得：

(2k)²=2n²

移项，得：

n²=2k²

这说明n²是偶数，那么n一定是偶数。

既然m一定是偶数，n一定是偶数，那么m/n还可继续化简。

（现在明白为什么要这样假设了吧，我们要从“不可约”的假设中推出“可约”的矛盾）

这与假设“m/n是不可约分式”矛盾。因此√2不可以表示为两个整数之比，√2是无理数。

二、数域概念简介

以下内容由译者原创，不足之处请多多指正

这节内容我们探究了自然数、整数、有理数、实数、复数这五种数集对加法、减法、乘法、除法、乘方、开方这六种运算的封闭性。

我们把研究的范围缩小一点，我们研究加、减、乘、除。

有哪些数集对这四种运算封闭？根据我们今天的内容，符合条件的只有有理数集（Q）、实数集（R）、复数集（C）。熟悉数学的朋友可能知道，这四个数集有另一个别名：有理数域、实数域、复数域。为什么数学家更喜欢用形容空间的概念词——域（Field）来称呼这些数集呢？

善于联想的同学肯定有过这样的想法，这些数集中的每一个元素如同空气一样连续地弥散在数轴里。就拿整数集与自然数集来说，整数集对除法不封闭，这使得整数集各元素间都有间距，比如0到1间距为1，数学家把这种性质称作离散性。相反的，有理数集对除法封闭，这使得各元素的间距可以无限小。古今中外不少智者用了不少鲜明的例子来说明这一点：比如芝诺的乌龟，庄子的木棍。

如果你是这么想的话，你便把住了“域”的要义。除法的封闭性确保了数集之间相邻两个元素的间距可以无穷小，这种性质称作数字的稠密性。因此我们把满足加法，减法，乘法，除法封闭的数集称作域。

为了拓展域的概念，我们需要更进一步的研究除法。除法，准确说乘以一个数的倒数。一个数数与它倒数相乘等于1，数学家把这个关系拓展，抽象出可逆元和单位元的概念。所以，数学家对域有更严格的定义。有理数、实数、复数之所以能在其名字后冠以“域”的称呼，在于他们中的每个元素都有唯一的可逆元素，它的倒数。

所以本节内容只是现代数论的冰山一角。不同数集对四则运算不同的封闭性，在数学家眼里有相应的命名和应用，“定义域”、“值域”这些耳熟能详的概念背后是“数域”应用在函数的例子。而这也与我们接下来要探究的主题密切相关：

复变函数（Complex Function）