S0G5 平均不等式（Geogebra 的无字证明）

2020-07-22 08:26 作者:学用数学 0人读过 | 我要投稿

这次的 Geogebra 基础课要来谈 Proof without Words 中，经典的平均不等式。在给定了 a, b 两条线段长，如何在图形上显示其调和平均，几何平均，算术平均，方均根四段的长度，并可以看出其大小关系。这图很适合作为直角三角形母子相似定理（射影定理）的练习与应用。

本次的制作主要使用垂线工具，在显示式子中，使用了 LaTeX 语法来作书写。

任务一算几不等式的示意图

【目的】给定 a,b 作出一个直径为 a+b 的半圆，并作一个直角三角形，其高为根号 ab 。

【说明】以 a, b 为直径作半圆，再作个垂直于分割点的直线 CH，可得其长度为根号 ab。再利用三角形斜边最长的特性可得算几不等式。

【操作】

a = 滑动条(1,5,0.1,1,100)

b = 滑动条(1,5,0.1,1,100)

H = (0,0)

A = (-a,0)

B = (b,0)

c = 半圆(A,B)

C = 交点(垂线( P, 直线(A,B) ),c)

D = 交点(垂线( H, 直线(A,B) ),c)

sAH = 线段(A,H)

sBH = 线段(B,H)

sDH = 线段(D,H)

sCO = 线段(C,O)

sAD = 线段(A,D)

sBD = 线段(B,D)

sOD = 线段(O,D)

任务二方均根、调和平均的示意图

【目的】作出代表「方均根」与于「调和平均」的线段

【说明】CH 为直角三角形 COH 中， OH 与 CO 所对应的斜边，所以 CH^2 = OH^2 + CO^2 = ((a-b)/2)^2 + ((a+b)/2)^2 = (a^2+b^2)/2 。而在三角形 OHD 中，DG*DO=DH^2 ，可得 DG = DH^2/DO = (2ab)/(a+b) 。建立四个线段后，在文本内输入 4 个线段的大小关系表示，对于数学式的输入使用 LaTeX 数学式。 \frac 是分数、\sqrt 是根号。

对于文本内要使用不同的颜色，需要用颜色代码，例如，以 \textcolor{#F08}{文字} 来操作，其中 {#F08} 表示红、绿、蓝三色光的强度。这是用 16 进位 (0~F) 的方式显示。F 表示红光全亮，0 表示没有绿光，8表示蓝光半亮。标准的代码是以 6 码表示、但有些时侯可用短码的 3码来表示。

【操作】

sCH = 线段(C,H)

G = 交点(垂线( H, 直线(O,D) ), 直线(O,D))

sHG = 线段(H,G)

# 增加以下五段 LaTeX 文本， \frac{}{} 是分数、\sqrt{} 是根号

CE = \frac{CH^2}{CO} = \frac{2ab}{a+b}

CH = \sqrt{AH\cdot BH}=\sqrt{ab}

OD = \frac{a+b}{2}

HD = \sqrt{OH^2+OD^2} = \sqrt{(\frac{a+b}{2}) +(\frac{a-b}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}

# 并利用颜色代码来输入颜色。

\textcolor{#93F}{\frac{2ab}{a+b}} \leq \textcolor{#F09}{\sqrt{ab}} \leq \textcolor{#C00}{\frac{a+b}{2}} \leq \textcolor{#930}{{\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} }

小结与讨论

本节定位为基础课，操作上主要是「垂线」、「交点」工具的使用。但比较有意思的还是在于这个图的结论。用一张图，让我们调整 a,b 的大小观察到，这四个线段的长度关系。

其中算几不等式的图示是我很早就接触到的 Proof without words 的证明。用张图显示了这两者的大小关系。后来还在这个图上，发现方均根与调和平均就更对这图着迷。

关于这些 Proof without Words 还有哪些大家推荐的证明问题呢？

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任务：S6G5 平均不等式（Geogebra 的无字证明）

姓名：朱安强

心得：本节定位为基础课，操作上主要是「垂线」、「交点」工具的使用。但比较有意思的还是在于这个图的结论。用一张图，让我们调整 a,b 的大小观察到，这四个线段的长度关系。其中算几不等式的图示是我很早就接触到的 Proof without words 的证明。用张图显示了这两者的大小关系。后来还在这个图上，发现方均根与调和平均就更对这图着迷。

S0G5 平均不等式（Geogebra 的无字证明）

任务一算几不等式的示意图

任务二方均根、调和平均的示意图

小结与讨论

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