自然数幂求和公式（初等）

数学史上向来存有这样一个问题：

对于和，是否存在一个通项公式？在清代，中国数学家李善兰就已经证明了这个通项确实存在，并求出了它。这就是自然数幂求和公式。

面对这样抽象的表达式，我们可以通过几个例子来说明。

首先是最著名的：（我们将记作）

得到这一等式可以用逆序求和的方法，也就是把正写一遍再倒写一遍（对齐），将两式相加再除以2即可。

我们再来看一个略微复杂的情况：k=2。解决这个问题的方法有很多。

①累加求和，对进行差分。何为差分？作为的多项式函数，称为的差分，记作，但为了表述直观，我们在推导中不这么记。推导如下：

                                    

将易得的这n个等式相加，得到

，而是已知的，因此

这个方法非常重要。不难发现这是一个通法——要求的公式，只需对进行差分。但我们也发现，这个方法存在缺点，那就是要求的公式，必须知道所有的公式。也就是说，只能由此方法得出对于任意正整数k的迭代公式，而非通项。

②整数裂项：这同样是一个通法。

先证明一个引理：.

证：

                                              

将这n式相加，立得上式。

于是，由于，

因此，得

.

③数学归纳法：需要先猜想结论而后证明，意义并不大。读者可自行证明。

通过上述①方法，读者可证：

                              

有了上述铺垫，我们可以进一步推导任意正整数k的情况了。在此之前，需说明：

①组合数：,易知

②二项式定理：

它们的含义不是本次的重点，不多赘述。

推导如下：（按推导时的方法①）

                                                                

n式相加，得到

（在此处，我们记）这就是一个公式了。

同时还可以进一步思考：既然照此思路（按本UP的现有知识）只能得到迭代公式，那能否分而治之？也就是说，最终的公式一定是一个多项式，那能否探求多项式每一项系数中的规律呢？这一思路，本UP正在探索，如有一些微小的发现，将尽快发出。上述的那个不美观而繁杂的公式，或许各位已经在闲暇时算出来过了。

*推荐一个良心UP @混数魔王----雨殇（我同学），数学可视化做得很好。