经济学小贴士（113）两期模型（1）

两期模型(Two period model)

1.      跨期预算约束(intertemporal budget constraint)

这种模型假设消费只生活在两个时期：今天和未来，分别是时期1和时期2。消费者在这两个时期都有收入，并且他们都可以存款并收取利息或者借贷并支付利息。根据这种思想，我们就能列出两个等式：

在这其中，Y1是时期1的收入，Y2是时期2的收入，C1是时期1的消费，C1是时期2的消费，s是存款（如果是负数的话则是借贷），R是净利率。现在，我们假定s是存款。

第一个等式可以解释为：在时期1，消费者的收入可以被分解成两部分，消费和存款。这一点比较好理解，因为在在现实中也是如此，有了钱除了消费就只剩下存着吃利息了。如果钱不够花的话，我们会透支未来的收入，并在之后赚了钱之后还上。当然，如果我们选择拿在自己手上的就相当于利率为0，在之后没有利息，有多少钱就是多少钱。

第二个等式可以理解为：在时期2，消费者的收入加上之前的存款和利息，就是我们全部的消费。需要重点注意的是，在这个模型中一个消费者的生命只有这两个时期，不存在第三个时期，也不存在能继承他财产的人，所以在自己最后的时期，消费者会选择把他手中的钱全部花掉一点不剩。所以他在第二个时期的消费就是时期2的收入和之前存款的总和。当然，如果s是借贷的话，时期2的消费就是收入减去借贷，因为消费者需要先还上时期1的贷款，剩下的钱才能自由支配。如果我们稍微对时期2的等式稍加改动，便可以得到:

因为两个时期的s是同样的，我们就可以得出:

最后，我们稍加变式，就会得到:

这就是跨期预算约束(intertemporal budget constraint)。

等式的左边是终生消费(lifetime value of consumption)。等式的右边，是终生收入(lifetime value of income)。

如果我们想在时期2购买一单位的东西，我们需要在时期1放弃1/(1+R)单位的东西并且存起来。这样，在时期2，我们所能收获的是:

2.     效用(utility)

在这两个时期中，消费者都会从消费中收获效用(utility)。就比如，大桥君在steam打折的时候买了地平线4并且喷了痛车，大桥君就收获了“快乐”这样的效用。效用这种东西是看不见摸不着的一个抽象概念，但是却是两期模型里的一个重点。回到刚才大桥君的例子，在喷完第一辆痛车之后，大桥君决定喷第二辆。但是在设计的过程中，大桥君并没有像设计第一辆的时候一样细心，在喷漆的时候也没有第一辆的细节多，并且在完工之后并没有像喷完第一辆车的时候一样开心。因此，大桥君获得的效用减少了。回到两期模型，消费者获得的效用也是同理，在获得新的效用的同时，他们所收获的新的效用是减少的。在经济里，我们用“边际效用递减(diminishing marginal utility)”来描述这种过程。

在两期模型中，我们用

来衡量终生效用。β是耐心度（degree of patience），如果β为0，代表消费者很不耐心，他的终生效用全部是时期1的。如果β为1，这说明消费者非常有耐心，时期2的消费全部成为消费者的效用了。既然说效用是消费者消费后所产生的一种积极的影响，那消费者必定想得到最多的效用。因此，我们就需要讨论效用最大化的问题了。

寄！专栏没法直接复制word文档里大桥君手打的公式。只能以截图的形式呈现了……