概率论复习 上
拿皇本人
最近一直在搞复习考研，虽然我的科目里没有概率论这个东西但是有些概念在量子力学、统计物理中还是会体现到，因此对大一学过的概率论知识做一个总结回顾。
当时考了92分来着，记错了一个公式与满分失之交臂，但是并不可惜。
我们在学习概率论的时候一定要将其与之前所学知识做一个联系，实际上这也是大学数学（非专业）的一个学习理念——切勿孤立地看待一门课如线性代数就是线性代数，高等数学就是高等数学。实际上它们都是融会贯通的，就像概率论中的连续随机变量，本质上就是考察积分学的应用，只不过套了个概率论的皮。而多元函数积分学中的某些复杂题型本质上可以通过正交变换进行极致的简化处理。
参考教材是国内泛用的浙大四版概率论与数理统计。
第一章 基本概念 个人评价：又臭又长，背公式做题即可，高中数学难度。高中的时候学这玩意儿就头大，后来偷懒背题型侥幸过关。把往年题型摆一起自己研究研究考法完事。
第二章 随机变量及其分布
个人建议：如果不定积分运算不熟练的回去找一百道题做一遍后品一遍，保证自己能够快速写出来中等难度的不定积分就行。
然后开始正文，关于随机变量的引入，实质就是套用函数模型解题，同时复习高中数学知识，重温离散型随机变量、分布律：（公式懒得手打了，直接上图）
0-1分布是二项分布的特殊情形，利用n次伯努利试验可得到二项分布式。
理解为抛硬币就行。
顺便插一嘴，曾经高中考过一道题目，让我们求k取何值二项分布概率达到最大。我提供一个思路：
当然数列是离散化的函数，你也可以将其作为一道函数题然后求导找最值点并在其周围取整，这个计算量很大，也是我第一次碰到此类题目的第一种思路。
泊松分布
相信有一部分同学看到二项分布的时候脑海里会闪现两个重要极限中的 仅仅是一闪而过，因为它们在形式上的确有相似之处但计算起来或许是很麻烦。
我要告诉大家的是，在n很大且概率p极小的时候，它们可以转换。证明如下：
这个np之积为λ在浙大四版概率论中是预先设定的：
这些是离散型随机变量的几个重点知识，当然选择背公式即可，并不是很难理解。因为还没涉及到函数的概念，没有把浆糊摇匀（笑）
随机变量的分布函数：
我打算将后一节的概率密度也放上来，因为离散型随机变量分布函数就是一个分段的常函数阶梯，按照这个概念直接比葫芦画瓢就可以得到图像。
看出来什么了吗，密度在分布域上积分就可以得到分布函数。如果先学了分布函数，一头雾水的情况下再接受一个陌生的概率密度概念基本就乱完了。但是“密度”这个广义的概念可以引导我们的思路——类似于线密度，一条质量均匀分布的线总质量为1，那么密度自然就是，对长度积分就是质量，积分得到的函数就是质量分布函数（假设这条线在坐标轴上，始端到末端中间的任意一点均是可以求出这点到任意一端的质量）
分布函数的导数是概率密度函数，因此可以拿出曾经学过的积分与原函数的关系亦或者函数与导数的关系来套概念。
有了概念，就要有实际应用模型：（均匀分布 指数分布 正态分布）
已知了概率密度函数，各位可以求一下分布函数，并不难。
只要始终把握“概率论外表，函数本质”就不会被繁多的定义与概念搞糊涂，对我而言它就是一道道函数应用题，加了概率论的附带条件罢了。就像曾经的高中物理，力学永远是本质，电学大题与热学选修题都是换皮的力学题目罢了。
然后顺便把这个3Σ法则复习一下~
以上的内容仅通过记忆就可以解决，并多加练习。
对于初学者有难度的还是在第五节“随机变量函数分布”中已知X的概率密度反求Y=F(X)概率密度函数的题型。没错，我第一次学的时候也是一头雾水，后来发现这不就是玩了个“复合函数求导数法则”？
题来！
虽然这是一道简单不过的例题，但凡是数学题都讲究一个程序化解题，规范步骤。既然一头雾水，那就按照我说的去做绝对没问题。
首先，求出新元的定义域，因为在这里我们做了一个换元操作。
其次，构造一个不需要求出来的分布函数F(X)，我们只是利用F与f的关系
然后，新元是Y，从F(Y)变成f(Y)进行一个复合函数的求导就行：
f(Y)=
这样就不会出错了，至于符号之类的想必各位都会处理。还有就是灵活运用“正难则反”思想，利用补集快速求答案。
然后是多维随机变量，在学习这个之前仍然希望各位挑一些重积分的题目练习计算能力，因为重积分的计算贯穿了这一章。类比一维随机变量的分布函数与概率密度函数，多维度的自然不难理解其性质：（这里重点研究二维）
只要你能理解一维，那么将其推广即可。就像我们曾经举线密度的例子，这里引申为面密度，整块版面的质量为1，在某个长为a宽为b的矩形区域里均匀分布。
至于应用...暂时先写这么多，各位如果有意见的话可以反馈一下，尽量做到快速上手/复习。当然我的作用仅仅是一个提纲，一个信标罢了，真正细细琢磨知识点与做题练习还要靠各位自己。下面更新的是多维随机变量的后续部分与随机变量的数字特征。
