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BV1eB4y1w7BS

sin(A-B)=(3-4cosA)sinB

即sinAcosB+3cosAsinB=3sinB

即(a²+c²-b²)/(2c)+3(b²+c²-a²)/(2c)=3b

即b²+2c²-a²-3bc=0

△ABC面积为√5

由海伦公式

有

√((a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16）

=√5

即(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=80

当c取得最小值时

有

-2a

((a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)

+(a+b+c)(a-b+c)(-a+b+c)

-(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)

+(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)）

=(2b-3c）

((a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)

+(a+b+c)(a-b+c)(-a+b+c)

+(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)

-(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)）

即

(2b-3c+2a）

2(a+b)(c²-(a-b）²)

＝(2b-3c-2a）

2(a-b）((a+b）²-c²)

即

(4(a+b)²-6c(a+b)）(c²-(a-b）²)

＝(-4(a-b)²-6c(a-b)）((a+b）²-c²)

即

(4(a+b)²-6c(a+b)）/((a+b）²-c²)

=(4(a-b)²+6c(a-b)）/((a-b）²-c²)

=M(M为常数)

即b+a与b-a为

方程

(M-4)x²+6cx-Mc²=0

的两根

即2b＝6c/(4-M)

即M＝(4b-3c)/b

即b²-a²

＝Mc²/(4-M)

＝(4b-3c)c²/b

/(3c/b）

＝(4bc-3c²)/3

又b²+2c²-a²-3bc=0

即b²-a²＝3bc-2c²

即9bc-6c²＝4bc-3c²

即5bc=3c²

即b=3c/5

即9c²/25+2c²-9c²/5=a²

即14/25c²＝a²

即a＝√14c/5

又(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=80

即((√14+3）²-25）c²/25

(25-(√14-3)²）c²/25

＝80

即(6√14-2）c²/25

(6√14+2)c²/25

=80

即500c^4=50000

即c^4=100

即c＝√10

即c的最小值为√10