（圆锥曲线）两点式的变换

2022-08-08 13:30 作者:因恋相思久 0人读过 | 我要投稿

在圆锥曲线里有一种特殊的曲线，玩法多样，二次结论多而精--抛物线

例如：抛物线 $y%5E2%20%3D2px$ 与直线交于AB两点

设A（ $%5Cfrac%7By_%7B1%7D%5E2%20%7D%7B2p%7D%20%20%EF%BC%8Cy_%7B1%7D%20$ ）B（ $%5Cfrac%7By_%7B2%7D%5E2%20%7D%7B2p%7D%20%EF%BC%8C%20y_%7B2%7D%20$ ）由两点式可得直线AB

$y-y_%7B1%7D%20%3D%5Cfrac%7By_%7B1%7D-%20y_%7B2%7D%20%7D%7B%5Cfrac%7By_%7B1%7D%5E2%20%7D%7B2p%7D%20%20-%5Cfrac%7By_%7B2%7D%5E2%20%7D%7B2p%7D%20%20%20%20%7D%20%EF%BC%88x-%5Cfrac%7By_%7B1%7D%5E2%20%7D%7B2p%7D%20%EF%BC%89$

$y-y_%7B1%7D%20%3D%5Cfrac%7B2p%EF%BC%88y_%7B1%7D%20-y_%7B2%7D%20%EF%BC%89%7D%7B%EF%BC%88y_%7B1%7D%20%2By_%7B2%7D%20%EF%BC%89%EF%BC%88y_%7B1%7D-%20y_%7B2%7D%20%EF%BC%89%7D%20%EF%BC%88x-%5Cfrac%7By_%7B1%7D%5E2%20%7D%7B2p%7D%20%EF%BC%89$

$%EF%BC%88y-y_%7B1%7D%20%EF%BC%89%EF%BC%88y_%7B1%7D%2B%20y_%7B2%7D%20%EF%BC%89%3D2px-y_%7B1%7D%5E2$

$%EF%BC%88y_%7B1%7D%2B%20y_%7B2%7D%20%EF%BC%89y%3D2px%2By_%7B1%7D%20y_%7B2%7D%20$

下面利用该直线解决特殊的问题

已知抛物线 $y%5E2%20%3D2px$ 的焦点 $F%EF%BC%882%2C0%EF%BC%89$

（1）求抛物线方程

（2）如图1，若A,B,C,D是抛物线上互不重合的四点，直线AC与直线BD交于 $P%EF%BC%883%2C0%EF%BC%89$ ，直线AB过焦点F，则直线CD是否过定点，若存在，求出定点，若不存在，说明理由

（1）抛物线的焦点 $F%EF%BC%882%2C0%EF%BC%89$

所以 $%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D%20%3D2$

$p%3D4$

抛物线的方程为 $y%5E2%3D8x$

（2）设 $A(%5Cfrac%7By_%7B1%7D%5E2%20%7D%7B8%7D%20%20%2Cy_%7B1%7D%20)%2CB(%5Cfrac%7By_%7B2%7D%5E2%20%7D%7B8%7D%20%2C%20y_%7B2%7D%20)%2CC(%5Cfrac%7By_%7B3%7D%5E2%20%7D%7B8%7D%20%2C%20y_%7B3%7D%20)%2CD(%5Cfrac%7By_%7B4%7D%5E2%20%7D%7B8%7D%20%2Cy_%7B4%7D%20%20)$

当斜率存在时，直线AB为 $y-y_%7B1%7D%20%3D%5Cfrac%7By_%7B1%7D-%20y_%7B2%7D%20%7D%7B%5Cfrac%7By_%7B1%7D%5E2%20%7D%7B8%7D%20%20-%5Cfrac%7By_%7B2%7D%5E2%20%7D%7B8%7D%20%20%20%20%7D%20%EF%BC%88x-%5Cfrac%7By_%7B1%7D%5E2%20%7D%7B8%7D%20%EF%BC%89$

即 $%E7%9B%B4%E7%BA%BFAB%3A%EF%BC%88y_%7B1%7D%2B%20y_%7B2%7D%20%EF%BC%89y%3D8x%2By_%7B1%7D%20y_%7B2%7D%20$

同理得直线AC： $%EF%BC%88y_%7B1%7D%2B%20y_%7B3%7D%20%EF%BC%89y%3D8x%2By_%7B1%7D%20y_%7B3%7D%20$

直线BD： $%EF%BC%88y_%7B2%7D%2B%20y_%7B4%7D%20%EF%BC%89y%3D8x%2By_%7B2%7D%20y_%7B4%7D%20$

直线CD： $%EF%BC%88y_%7B3%7D%2B%20y_%7B4%7D%20%EF%BC%89y%3D8x%2By_%7B3%7D%20y_%7B4%7D%20$

因为直线AB过 $F%EF%BC%882%2C0%EF%BC%89$ 有 $y_%7B1%7D%20y_%7B2%7D%20%3D-16$

直线AC,BD过 $P%EF%BC%883%2C0%EF%BC%89$ 有 $y_%7B1%7D%20y_%7B3%7D%20%3D-24$ ， $y_%7B2%7D%20y_%7B4%7D%20%3D-24$

因此 $y_%7B3%7D%20y_%7B4%7D%20%3D-36$

所以 $%EF%BC%88y_%7B3%7D%2B%20y_%7B4%7D%20%EF%BC%89y%3D8x-36$ 过定点 $%5Cvarphi%20%EF%BC%88%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D%2C0%20%EF%BC%89$

当斜率不存在时得 $AB%E5%B9%B3%E8%A1%8CCD$ 设直线CD为x=a

不妨令 $A%EF%BC%882%2C4%EF%BC%89%EF%BC%8CC%EF%BC%88a%EF%BC%8C-%5Csqrt%7B8a%7D%20%EF%BC%89%EF%BC%88a%EF%BC%9E3%EF%BC%89$

有几何关系得 $%5Cfrac%7B4%7D%7B3-2%7D%20%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B8a%7D%20%7D%7Ba-3%7D%20$

化简有 $2a%5E2-13a%2B18%3D0$

解得 $a%3D%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7D%20%EF%BC%88%E8%88%8D%EF%BC%89%EF%BC%8Ca%3D%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D%20$

此时直线CD为 $x%3D%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D%20$ 过点 $%5Cvarphi%20%EF%BC%88%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D%2C0%20%EF%BC%89$

综上，直线CD过定点 $%5Cvarphi%20%EF%BC%88%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D%2C0%20%EF%BC%89$

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