对勾复对勾（2019课标Ⅱ圆锥曲线）
（2019课标Ⅱ，21）已知点
、
，动点
满足直线
与直线
的斜率之积为
.记
的轨迹为曲线
.
（1）求
（2）过坐标原点的直线交
、
两点，点
轴，垂足为
，连接
并延长交
.
（ⅰ）证明：
是直角三角形；
（ⅱ）求
解：（1）由题可知
，
化简得（
），
所以的轨迹是椭圆（不含左、右顶点）.
（2）先画图
（ⅰ）设点的坐标为
，
则点、
的坐标分别为
、
则直线的斜率
，
而，
所以……（
）
设点的坐标为
，
由与点、
、
都在椭圆上，所以
，
，
两式相减（点差法）得
，
即，
即，
即，
即，
即……（
）
（此即椭圆之第三定义）
由、
可得
，
所以，
所以是直角三角形.
（ⅱ）设直线的方程为
，
与椭圆联立，解得
，
设直线的方程为
，
与椭圆联立得
，
所以，
所以.
所以的水平宽
.
所以
令，则
，
易知在
，所以
.
当且仅当，即
时，取得最大值.
补充一些草稿：
