大学物理（电磁学）知识梳理与例题选讲：§02 导体

平面中使用高斯定理

# 不考虑平面厚度

## 场强方向定性

无穷对称性

• 一维无限长直导线
• 二维无限平板（对称性可证场强垂直平面）——拓展为圆盘

## 高斯面的选取

选取圆柱面（可取圆柱轴垂直于平面）

## 计算场强

# 考虑平面厚度

## 电荷分布在两侧

### 两侧同种电荷

• 定性两侧各个平板的场强方向
• 定量与叠加

### 两侧异种电荷

• 定性两侧平板的场强方向
• 定量与叠加

意义：其与平行板的性质为一致

## 电荷分布在里面

类比球体场强分布，分类讨论

### 内部场强时

• 取高斯面

• 场强计算

### 外部场强时

• 定性（之前已经判断过了）
• 取高斯面

• 求解场强

注意：高斯面选择圆柱面

静电平衡

# 概念

## 导体电荷：自由电子等效为导体电荷（正/负）运动

## 外部电场与导体电场抵消从而形成静电屏蔽（静电平衡）

# 导体各个部分的定义

注意：内部不包含空腔部分（单连通与复连通）

• 净电荷：正负电荷的代数和（注意：区分净电荷指的物体区域范围）

• 孤立导体：外界无关联的导体

# 静电平衡的定理

• 静电平衡：导体内部与外部场强叠加后，场强为0

• 复连通区域空腔的净电荷为0，则内部净电荷为0

• 复连通区域空腔的净电荷为Q，内部电荷为-Q

• 导体为等势体，等势面

# 导体中的场强

• 高斯定理

1. 场强方向垂直于小平面
2. 取高斯面（将圆柱面一底面置于导体内部）

3.求解

• 跃变法

1.小导体的分析

高阶微元：相对于微元的微元

在高阶微元的小平面 => 小平面无限大平板

2.大导体分析

导体内部为零 => 大导体与小导体场强相反

对于大导体的试电荷移动至小导体边界过程中，仅仅变化为高阶小量，因此场强将保持连续（场强大小方向不变）

计算场强结果

# 尖端放电:尖端密度大，场强较强

反证法（证明尖端场强更强）

尖端与非尖端的关系比较（电势相等）

变换为场强表示 => 场强E 反比于半径r

思考：尖端放电的条件（E 不等于0）

# 唯一性定理：确定分布状况（Q、V），有且仅有一个电场状况

## 边界条件

1. 全部电荷Q的分布
2. 全部电势V的分布
3. 一些电荷Q分布和剩下的电势分布

## 静电屏蔽 => 导体内外状况相区别

导体问题的基本思路

求出电荷Q、电荷面密度σ、场强E、电势φ

# 例题1：电荷Q（注意内部小导体实心球+q不存在内表面）

## 无导线求电荷Q

求外部球壳所带的中的电荷量

### 接地问题（接地物体不意味着电荷全部流失）

作用

1. 零电势的确定
2. 给了电荷流通的通道

### 求球壳的内表面

电荷-q（高斯定理）以及其分布为均匀分布（由内部球对称得出）

### 求球壳外表面

研究球心处的电势，表达式较为简单（[静电平衡的性质]此时可看作电荷全部分布在表面包括小实心球壳、外球壳内表面和外球壳外表面）

圆心的电势φ表达式

另一种电势表示（积分式）

求解

### 有导线求电荷

在添加一根导线将小球与外球壳连接，求外球壳的电量

连接后小球与外球壳等电势

球心处的电势0 => 外球壳的电量

求解

# 例题2：求电荷面密度σ的问题

问题如下

## 跃变法

由静电平衡性质可知导体电荷都将分布在表面

平面点边界上跃变（q的场强连续）与对称性（对于导体表面电荷的场强分布关于y轴对称），可得场强E方向为

场强E大小为

电荷面密度σ为

## 电像法：转化为基本分布的部分（思路讲解）

转化为电偶极子的电场的一半

# 例3：平行板问题（注意需将平行板当作有厚度板处理，便于使用导体的性质）

## 高斯定理在平行板的推论

Eε = σ

### 两平板之间的电通量为0（两高斯面均至平行板内部），故

### 内部场强为0

### 两平行板的电荷相对等量异号，相背为等量同号

## 例题3题目：平行板问题

### 无导线连接问题

A、B等量异号，电势差为u0，加入C、D原先不带电，求AC、CD、DB之间的场强与电势

由平行板电荷相对异号，相背同号与A，B相异可得A的左表面、B的右表面电荷均为0

求出原先的电荷面密度σ

求出各个平行板的表面面密度σ

求解电势φ、场强E

### 有导线连接a

A、B等量异号，电势差为u0，加入C、D原先不带电，之后C、D连接导线，然后撤去导线。求连上导线后AC、CD、DB之间的场强与电势。

各个平行板的电荷分布，求出场强E

### 有导线连接b

A、B等量异号，电势差为u0，加入C、D原先不带电，之后C、D连接导线稳定后撤去，再将AB连接。求连上导线后AC、CD、DB之间的场强与电势。

设各个平行板的电荷分布

由C、D板电荷守恒（与有导线a状况的总电荷保持一致）可列出方程（图中亦标出电势可能性）

A、B等电势可出列

求解电荷分布结果

求解场强与电势（注意计算结果的方向）

续

### 有电源连接a

A、B等量异号并连接电源电势差为u0，加入C、D原先不带电，求连上导线后AC、CD、DB之间的场强与电势差

电荷分布、场强与电势差

### 有电源连接b

A、B等量异号并连接电源电势差为u0，加入C、D原先不带电，之后C、D连接导线稳定后撤去。求连上导线后AC、CD、DB之间的场强与电势差

可出电势、场强（C、D之间电势、场强为0）

### 有电源连接c

A、B等量异号并连接电源电势差为u0，加入C、D原先不带电，之后C、D连接导线稳定后，CD导线与电源随之撤去，再将AB连接。求连上导线后AC、CD、DB之间的场强与电势差

设电荷分布如上图，由电荷守恒与A、B电势相等，得

解出电荷分布

求出场强、电势

## 复连通的感应球壳问题

### 球心中心放置电荷

求感应电荷

### 偏心处放置电荷

求感应电荷分布，试问球壳外表面电荷分布是否对称？（答：对称的）

因为内表面与点电荷场强叠加已为0，外表面除了保证电荷守恒也应保证场强为0，而当分布为均匀时场强将恰好为0

### 偏心处放置电荷且球壳外表面接地

球壳外表面正电荷将流失

电容器

定义：能储存电（电荷）的容器（注意不一定为两块导体，也可为一块导体对于与无穷远处所形成的电容）

## 定义式

C = Q/u

注意：Q为任意一对异号电荷量，电容是标量且大于0，与电量Q无关

## 例题

### 例1:单导体球

### 例2：同心嵌套导体球壳

### 例3：平行板

应用`导体`：高斯定理在平行板的推论：Eε = σ

### 例4：嵌套同心圆柱壳

电势差为(使用高斯定理：高斯面为同心圆柱面，可求出场强表达式E(r))

## 串并联电容器（与电阻关系的联想）

### 串联电容

### 并联电容

## 串并联电容的例子

### 定理

• 电荷守恒（针对电路节点的电荷总量为0）
• 环路定理（在环路内的电势总和为0）

### 例1

求下图电容器的电荷量？

可设电量与推导处下图的电荷分布图

电荷守恒与环路定理得

求解结果为

### 例2：电容器的连接的分解

a.并联

b.串联

c. 并联

并联的拓展

静电能

静电能属于场的能量（例子：重力势能），量的体现场的大小与场的分布的广泛程度

静电能包含

• 互能：两个体系之间的作用的能量
• 自能：一个系统的内部各个部分之间的作用的能量

# 例题：静电能

电源（电势为U）给予电容充能，求解电容器的静电能

求解静电能W结果如下

## 电容器

### 在外加恒压电源下

电容器面积减半，则

静电能变化

电场分布不变

# 例子：静电能的自能与互能

## 互能

### 例1：分立的点电荷的互能

求N个点电荷的互能

互能求解为

转化为电势表示式

=> 连续分布的电荷互能表示式

### 连续体的互能的推导

球电荷电势

电荷微元dq可表示为

则连续分布互能表达式

此处可忽略微元电荷对自己的电势的推导（up的看法）

## 自能（up主没讲部分内容）

# 静电能与能量密度

求下列带电体的静电能（φ内为自身激发的电势），圈出部分为自能表达式

使用能量密度（单位静电能的密度）表示静电能

## 例：能量密度与静电能

电荷+q半径R3处为一空腔(至R2)，求金属球的静电能

分析分布图如下

### 电势表示法为

因过于繁杂不再计算

### 使用能量密度法

对于空腔内的静电能

对于金属球壳的静电能、总结果