控制变量法的应用(补充①)

2022-07-04 12:18 作者:现代微积分 0人读过 | 我要投稿

前篇专栏我们用控制变量法求解了几道含几何背景的多变量问题，那么在代数(以函数形式为主)中控制变量法又如何使用呢？这是此专栏的探讨重点。

先看一道题：

求二元函数 $f(a%2Cb)%3D(cosa-b)%5E2%2B(sina%2B2)%5E2$ 的最小值？

如果能从这个式子中发掘出几何意义，那么问题可以迎刃而解。就是求点(cosa,sina)与点(b,-2)间距离的平方的最小值，也即求距离的最小值，那么就可以转化为上一篇专栏的第一题来做：

具体的过程就再简单复述一遍好了，具体过程参考前一篇专栏。

先固定B，则BC的最小值为B到直线l的垂线段长

即每一个特定的B，对应的BC的最小值都是该点到直线的距离

那么求出B到直线距离的最小值即可

由于直线水平，当B位于圆的最低点时取得最小值1

奇妙的比喻就是先选班级(先固定B)，后挑矮子(找出BC的最小值，垂线段长)，最后将每个班里最矮的人组成的群体中找出最矮的即为所求(找垂线段长的最小值)

(纯属举例无贬义[doge]，上一篇专栏也有提及)

回到此题，上文使用几何意义的转化求解，那么直接从函数角度着手又如何求解呢？答案也是：使用控制变量法

控制a不变，那么函数可以看成以b为自变量的函数

$f(a%2C%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20b%7D%20)%3D(cosa-%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20b%7D%20)%5E2%2B(sina%2B2)%5E2$ (标红的就是自变量)

这是以b为自变量的二次函数的顶点式

当 $%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20b%7D%20%3Dcosa$ 时取最小值 $(sina%2B2)%5E2$

再求 $(sina%2B2)%5E2$ 的最小值即可

当 $sina%3D-1$ 时取最小值 $(-1%2B2)%5E2%3D1$

不妨作出函数图像来辅助理解

控制a，那么函数图像就是以a为参变量，b为自变量的运动的曲线(随参数a运动)

此时 $(cosa-%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20b%7D%20)%5E2%2B(sina%2B2)%5E2$ 就是一运动的二次函数(以b为自变量)，对于一特定的参数a，对应的二次函数的最低点为 $(cosa%2C(sina%2B2)%5E2)$

那么调整参数a，找到这个最低点的最低位置即可

当sina=-1时， $(sina%2B2)%5E2$ 取得最小值1

奇妙的比喻：选定一特定的参数a就相当于选定了一个班级，此时图像上的点就是这个班级的无数的学生，最低点对应的就是这个班级里最矮的学生。

每一个参数a都对应一个班级，图像反应这个班里学生的身高情况

为找出最小值，需找出每个班最矮的学生研究（就是找出含参的最低点）

最后找出这群矮人中最矮的即为所求(对应找最低点的最低位置)

同理，控制b不变，那么函数可以看成以a为自变量的函数

$f(%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20a%7D%20%2Cb)%3D(cos%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20a%7D%20-b)%5E2%2B(sin%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20a%7D%20%2B2)%5E2$ (标绿的就是自变量)

这是以a为自变量的函数，形式比较复杂，经化简得：

$f(%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20a%7D%20%2Cb)%3D4sin%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20a%7D%20-2bcos%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20a%7D%20%2Bb%5E2%2B5$

此时发现这是以a为自变量的三角函数

运用辅助角公式可得，其最小值为

$-%5Csqrt%7B4%5E2%2B(-2b)%5E2%7D%20%2Bb%5E2%2B5%3D-2%5Csqrt%7Bb%5E2%2B4%7D%2Bb%5E2%2B5%20$

再求 $-2%5Csqrt%7Bb%5E2%2B4%7D%2Bb%5E2%2B5%20$ 的最小值即可

令 $%5Csqrt%7Bb%5E2%2B4%7D%3Dt%2C(t%5Cge%20%5Csqrt%7B4%7D%20%3D2)$

$%3D-2t%2Bt%5E2-4%2B5%3Dt%5E2-2t%2B1$

对称轴为t=1，当 $t%5Cge%202$ 时递增，故当t=2时取最小值1

再作出以a为自变量,b为参变量的函数图像

控制b，那么函数图像就是以b为参变量，a为自变量的运动的曲线(随参数b运动)

此时 $4sin%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20a%7D%20-2bcos%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20a%7D%20%2Bb%5E2%2B5$ 就是一运动的三角函数(以a为自变量)，对于一特定的参数b，对应的三角函数的最低点纵坐标为 $-2%5Csqrt%7Bb%5E2%2B4%7D%2Bb%5E2%2B5%20$

那么调整参数b，找到这个最低点的最低位置即可

也就是求 $-2%5Csqrt%7Bb%5E2%2B4%7D%2Bb%5E2%2B5%20$ 的最小值

奇妙的比喻：选定一特定的参数b就相当于选定了一个班级，此时图像上的点就是这个班级的无数的学生，最低点对应的就是这个班级里最矮的学生。

每一个参数b都对应一个班级，图像反应这个班里学生的身高情况

为找出最小值，需找出每个班最矮的学生研究（就是找出含参的最低点）

最后找出这群矮人中最矮的即为所求(对应找最低点的最低位置)

再来欣赏下二元函数在空间直角坐标系下的几何意义

我们知道单元函数 $y%3Df(x)$ 可以在平面直角坐标系中由点坐标绘制出曲线图像。

而双元函数 $z%3Df(x%2Cy)$ 有两个自变量，比单变量多了一个自由度，所以点坐标可绘制出一曲面。

上图是双元函数 $z%3Df(x%2Cy)%3D(cosx-y)%5E2%2B(sinx%2B2)%5E2$ 的曲面图像

取一特定的x值，那么z就是以y为自变量的函数，对应坐标系中相当于作一平面与之相交，该平面//z-o-y平面

(类比单元函数中作x轴垂线与函数相交，交点就是函数值)

比如取x=0，那么 $z%3D(1-y)%5E2%2B4$ ，也就是对应的图中曲线(曲面与平面的交线)的表达式

实际上，此时对应前面的控制以x为参变量，以y为自变量的函数就是这条交线在 $z-O-y$ 平面上的投影曲线

取定的每一个特定的x对应每一块“剖面图”，所有这些“剖面图”构成即可反映原曲面的整体

平面过曲面最低点时，所截得的曲线自然也是所有最低点中最低的

取定y也同理

此时平面//z-o-x平面，所截得的曲线则是三角函数图

比如取y=-1.5，那么 $z%3D(cosx%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20)%5E2%2B(sinx%2B2)%5E2$ ，也就是对应的图中曲线(曲面与平面的交线)的表达式

此时对应前面的控制以y为参变量，以x为自变量的函数就是这条交线在 $z-O-x$ 平面上的投影曲线

同样，所截得的曲线也是所有最低点中最低的

我们对比发现，前面的控制变量其实就是选定平行于z-O-y或平行于z-O-x的平面进行平移，用所截得的剖面图中的曲线来反映曲面的情况

下面再来练习一道题

求二元函数 $f(x%2Cy)%3D9x%5E2%2B5y%5E2%2B24x-14y-12xy%2B24$ 的最小值

思路一：控制y不变，则

$f(%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20x%7D%20%2Cy)%3D9%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20x%7D%20%5E2%2B(24-12y)%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20x%7D%20%2B5y%5E2-14y%2B24$ (标红的为自变量)

当 $%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20x%7D%20%3D%5Cfrac%7B2y-4%7D%7B3%7D%20$ 时取得最小值 $y%5E2%2B2y%2B8$

当y=-1时取得这些最小值中的最小值7

思路二：控制x不变，则

$f(x%2C%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20y%7D%20)%3D5%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20y%7D%20%5E2%2B(-14-12x)%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20y%7D%20%2B9x%5E2%2B24x%2B24$ (标绿的为自变量)

当 $%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20y%7D%20%3D%5Cfrac%7B6x%2B7%7D%7B5%7D%20$ 时取得最小值 $%5Cfrac%7B9%7D%7B5%7D%20x%5E2%2B%5Cfrac%7B36%7D%7B5%7D%20x%2B%5Cfrac%7B71%7D%7B5%7D%20$