随机偏微分方程简介

随机微分方程就是在系统中带有随机噪声干扰项的微分方程.

一般来讲学习随机微分方程需要先学习随机分析,了解Ito积分,同时也要有泛函分析和偏微分方程的基础,然后才能找到相应的专著开始学习.但随着随机偏微分方程这门学科的重要地位不断提升,这样的学习路线显得太过漫长,导致绝大多数人在本科阶段并不能接触和了解这一门学科,也就很难说在未来还想从事这方面的学习与研究工作了.因此为了探索这门学科下沉至本科教育的方式,破除原有的学习壁垒,使得更多的数学学生能够以更少的基础去了解这门学科所关心的问题,我们需要建立关于这门学科新的体系,很明显近几年就有这么一种趋势.

随机偏微分方程的传统打开方式,比如H.Holden和B.Oksendal的Stochastic Partial Differential Equations 或者E.Pardoux的Stochastic Partial Differential Equations,都是直接从随机积分的角度入手,同时在学习时也要求比较坚实的分析基础.

而M.Hairer(2014年Fields奖得主,方向spde)在2023年7月刚刚在个人主页上传的讲义中,他做了这样一个尝试:假设学生只有基本的概率论,测度论与泛函分析的基础的情况下来介绍随机偏微分方程.在讲义的第一章介绍了N-S方程和随机热方程两个例子,仅仅用到了概率作为一个分布的概念而完全不涉及随机积分,让人先对问题有了大致了解,然后再花了一些篇幅来补充一些概率与分析的工具,,括Gauss测度和算子半群(从随机分析的角度来说是马氏半群),最后分别介绍了线性spde和半线性spde.文章后面有第一章的主要内容.

如果连概率论基础也没有,还有一个选择,就是写了偏微分方程圣经的那个L.Evans,他前几年也写了一本An Introduction to Stochastic Partial Differential Equations,看这本书就完全只需要分析基础了,书中会补充需要的概率知识,这本书适合给非概率方向的学生了解随机方程,但从概率方向学生的角度,质量应该是比不上上一本的.

剩下的新学期再开始学了.