【数学基础122】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. Q是有理数集的缩写，是英语单词quotient（商）的缩写，因为有理数一定是两个整数的商；

2. 【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep2】读懂数学书避不开的逻辑规律：例3；

3. 行列式的性质：

1. 行列互换，行列式不变（把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记为A'）；

2. 行列式一行的公因子可以提出去；

3. 行列式中若有某一行是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和：

   这两个行列式的这一行分别是第一组数和第二组数，则其余各行与原来行列式的相应各行相同；

4. 两行互换，行列式反号；

5. 两行相同，行列式的值为0；

6. 两行成比例，行列式的值为；

7. 把一行的倍数加在另一行上，行列式的值不变。

参考资料：

1. 《数学分析》（陈纪修 於崇华 金路）

2. 《解析几何》（吕林根 许子道 编）

3. 《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）

数学分析——

例题（来自《数学分析（陈纪修 於崇华 金路）》）——

设S={x|x∈Q并且x^2<3}，证明：S没有最大数与最小数。

证（反证法+构造法）：假设有最大数，以某种形式表示，然后再这种形式下找到一个明显大于这个数的数（关系式），就可以得到一般性结论——

1. 假设S存在最大数a，则S的定义易得，a^2<3；

2. 我们只要确定一个自然数n，使得（a+1/n）^2<3即可，即

   （a+1/n）^2=a^2+2a/n+1/n^2<3，则

   2a/n+1/n^2<3-a^2；

3. （放缩：对自然数n，n^2>=n，则1/n^2<=1/n）

   2a/n+1/n^2<（2a+1）/n<3-a^2，即

   n>（2a+1）/（3-a^2），（由阿基米德公理：）这样的n一定存在，于是

   a<a+1/n∈S，a不是最大数，导出矛盾，于是S中没有最大数，同理可得，S中没有最小数。

解析几何——

例题（来自《解析几何（吕林根 许子道 编）》）——

设点P是任意点，点O是平面上正多边形A1A2…An的中心，证明：

PA1+PA2+PA3+…+PAn=nPO.

证：

（先证OA1+OA2+OA3+…+OAn=0.）正多边形各内角相等，且|OA1|=|OA2|=|OA3|=…=|OAn|，并且对任意k，OAk位于∠Ak-1OAk+1角平分线上，由平行四边形原理——

1. OA1+OA3=λOA2，

   OA2+OA4=λOA3，

   ……，

   OAn-1+OA1=λOAn，

   OAn+OA2=λOA1；

2. 由1：2（OA1+OA2+OA3+…+OAn）=λ（OA1+OA2+OA3+…+OAn），

   （λ-2）（OA1+OA2+OA3+…+OAn）=0，

   显然λ≠2，则OA1+OA2+OA3+…+OAn=0.

（再证PA1+PA2+PA3+…+PAn=nPO.）

1. 对任意k，PAk=PO+OAk；

2. PA1+PA2+PA3+…+PAn

   =（PO+OA1）+（PO+OA2）+（PO+OA3）+……+（PO+OAn）

   =nPO+（OA1+OA2+OA3+…+OAn）

   =nPO，证毕。
   

高等代数——

例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——

证明：

证：