本文译自A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, trans. Alex Martsinkovsky, Geometry of Conics, American Mathematical Society, 2007.
翻译：野吕侯奈因
仅供学习交流使用
译者按：
       本书在几何爱好者之间小有人气，但目前网上只能找到一些零散的翻译．鉴于目前通行的数学教学中对于二次曲线问题的处理方式过于单一，希望能借翻译本书的机会来推广一下二次曲线的射影几何视角．

1.3. 光学性质

       众所周知，当光线在镜面处反射时，其反射角会等于对应的入射角．这与所谓的费马原理(Fermat principle)有关，即光总会沿最短路径转播．接下来我们来证明这条路径的确是最短的．

       也就是说对于居于直线同一侧的两点和，我们需要找到上一点，使得到和的距离之和最小．作出关于的对称点，容易验证，对于上任意的点，都有．于是我们只需找到找到上一点，使得到和的距离之和最小即可．显然，该最小值会在与交点处取得．（图1.7）

练习1. a)对于分居直线两侧的点和，试求上一点，使得到与的距离之差的绝对值最大．

       b) 给出不重叠的两直线和以及不在两直线上的点，试求试求上一点，使得到与的距离之差的绝对值最大．

解答. a)设为关于的对称点．容易验证，对于上任意的点，都有．我们只需找到上使得到与的距离之差的绝对值最大的位置即可．由三角不等式有，当且仅当、与三点共线时取得最大值．另外，由于与对称，会有和夹所形成的两角相等．（图1.8）

       b) 设为关于的对称点．取与中到距离较小的一点．不妨设其为，再设到的距离为，于是对于上任意的，其到的距离都不大于，因此本题所求差值也就不会超过了．而当位于过的垂线上时其值取得（图1.9）．

       我们同样能够注意到当a)中的直线平行于或是b)中的垂直于时，都无法取得对应最小值（或者说在无穷远处取得）．