[翻译]锥线几何(Geometry of Conics)第一章：二次曲线的诸基本性质1.3(II)

本文译自A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, trans. Alex Martsinkovsky, Geometry of Conics, American Mathematical Society, 2007.
翻译：野吕侯奈因
仅供学习交流使用
译者按：
       本书在几何爱好者之间小有人气，但目前网上只能找到一些零散的翻译．鉴于目前通行的数学教学中对于二次曲线问题的处理方式过于单一，希望能借翻译本书的机会来推广一下二次曲线的射影几何视角．

       现在我们来介绍可以说是二次曲线最重要的性质之一的光学性质（optical property）．

定理1.1（椭圆的光学性质）. 若有一直线切椭圆于点，则为的外角角分线，其中和为椭圆两焦点（图1.10）．

证明. 设为上异于的任意一点．由于在椭圆外部，于是就有，也就是说为上到和的距离之和最小的点．那么自然有与夹所形成的两角相等．

练习2. 请叙述并证明抛物线及双曲线的光学性质．

解答. 抛物线的光学性质叙述如下：若有一直线切抛物线于点，作出在准线上的投影，则为的角平分线，其中为抛物线的焦点（图1.11）．

       假设存在一条的角平分线（设其为）交抛物线于另一点，作出在准线上的投影．由抛物线的定义，有．另外，由于为等腰三角形，有的角分线同时也是的中垂线．因此对于该角分线上的任意一点，都有．而准线上只唯一存在一点使得到其距离最小，故矛盾．

       接下来是双曲线的光学性质．

       若有一直线切双曲线于点，则为的角分线，其中为椭圆两焦点（图1.12）．

       假设存在一条的角平分线（设其为）交双曲线的同一支于另一点．为方便叙述，不妨假定落在靠近的一支上．作出关于的对称点，有，且和三点共线．因此有，故有．而由三角不等式，有，故矛盾．

       以上结论也可以用与椭圆的光学性质类似的方式证明，可以试着使用练习1的结论．

（译者注：对于抛物线，这里分享两种思路：第一种是推广定理1.1的结论：将其中一个焦点移至无穷远处，这时其与椭圆上一点所连直线也就平行于原长轴；另外，原椭圆也变为了抛物线．那么由椭圆的光学性质，抛物线的光学性质显然成立．第二种是使用练习1.b)的结论：作出焦点关于抛物线的切线的对称点并假设其不在准线上．且对于上异于切点的任意点及其在准线上的投影都有，而由可知，在过的准线的垂线上，又由对称性知，重合，故矛盾．而为准线上唯一的到距离等于的点，故原命题得证．（图a）

       对于双曲线，设切双曲线于点，则对于上异于切点的任意点都有，于是为上到与的距离之差的绝对值最大的点，故原命题显然成立．（图b）

       另外，我们也可以发出一种相反的疑问：是否可以用练习2的思路来证明定理1.1？译者在此给出一种方法：假设的外角角分线交椭圆于另一点，其中为椭圆的两焦点．作出关于的对称点，有三点共线．而由对称性，有，由三角不等式，这显然矛盾，故原命题得证．（图c）)

       早在古希腊，人们就发现了抛物线的光学性质．阿基米德甚至曾通过将铜镜排列为抛物面来尝试点燃围攻叙拉古城的罗马船只．

（译者注：阿基米德像是预知了他本人将死在这场战役中一样爆发出了惊人地丰富的奇思妙想，这份才思泉涌也为他的死亡平添了些食其食者死其事的壮烈．）