1.小结（静电、静磁）

     在之前的文章中，我们已经介绍了麦克斯韦四个方程中的静电、静磁两大定律---也就是电场、磁场的高斯定律：

        这两个定律分别描述了静止电场、磁场的性质，我们也已经知道它们都是三维空间平方反比定律的体现，它们也可以用哈密顿“del”算子写成和的形式，这种形式将在后面的文章中详细介绍。

          但是，生活中往往不存在所谓的静止，大部分的物体都处在无休止的运动中，那么，我们让电场和磁场“动”起来，换句话说，如果将恒定电磁场换成大小随时间变化的电磁场，它们的规律应该是怎样的呢？

                2.电磁感应定律

    下面我们要谈的这个定律，恐怕没有听说过麦克斯韦方程组的同学都耳熟能详，它就是麦克斯韦方程组的第三个方程：磁生电方程---法拉第电磁感应定律，这个定律对人类世界的影响是极其深远的，各种发电厂中的交流发电机就是以这个定律为理论基础制成的，它的发现使人类迈进了电气时代，引发了第二次工业革命，可以说，如果没有电磁感应定律，你现在也不可能在这儿看到这篇文章

      讲到电磁感应，不得不提一个叫做法拉第的物理学家。1831年，法拉第做了一个在电磁学上有里程碑意义的实验，他把一根磁铁棒插入了线圈，与此同时，连通线圈的灵敏电流计出现了摆动，这意味着由磁产生了电，但是一瞬间后，电流表又归零了，后来，法拉第用铜盘取代了线圈，在磁场中转动，得到了稳定的电流输出，人类史上第一台发电机出现了，从此，人类进入了电气时代。

      然而，作为一个物理学者，法拉第的数学水平却是同一时期物理学家中最差的，所以他直到去世也未曾归纳出磁生电定律的数学形式，幸亏，这个定律到了麦克斯韦的手里…

      我们先来看看电磁感应定律长啥样吧：

      我们先看式子的左边，这个称之为曲线积分，我们可以形象地理解为变化磁场B感生出一个环状电场E，用一小段的电场强度E点乘微元长度l，再对曲线上每一个E•dl求和，所得到的结果即为积分的结果，这个量我们称之为电场环流，在数值上与感应电动势（也就是所谓的“感应电压”）是相等的（这个大家可以自己去试着证明。

          我们再来看式子的右边：上过小学二年级的同学们应该已经对它非常熟悉了：不就是曲面的磁通量对时间t求导嘛，而且一般我们还可以写成这样：

                                                      

         在上篇中，我们已经详细介绍了通量Φ的定义了，它等于场强（或磁感应强度）与面积矢量的点乘，用于量度通过某一曲面场线（力线）的多少。所以我们在右边也可以将通量写作对B•dS积分了。

          但是，这个导数之前为什么要加个负号呢？我们在高中物理中学到的的电磁感应定律不都是形式的吗（这里的E为感应电动势），其实这种形式其实是有问题的，虽然我们可以直接的通过它求出感应电动势的大小，但是如果我们要给环流定义“方向”的话，这个式子就不再适用了。举个例子，一个圆形，方向向下时变磁场周围感生出了一个电场，而且这个电场是顺时针方向绕的，如果运用“右手螺旋定则”（这个方法在前面介绍转动惯量的文章中也用到过）定义它的方向的话，它的方向就应该是向下的，那它真的是个矢量吗？不是，只是我们为了方便处理问题给了它一个“方向”，和角速度这种“伪矢量”有异曲同工之妙。

            再来看磁场，我们同样可以定义一个“变化方向”用以表明磁场增强的方向，根据右手定则（不是右手螺旋定则），我们可以很快判断出这个圆边界的各长度元是向圆心靠拢运动的…等等，这个圆怎么会变，变的不是磁场吗？其实这说明两种磁通量的改变方式是等效的，你增大磁场和增大面积是可以起到相同效果的。我们在用右手定则时，是预设它磁感应强度不变，面积变化的，那么既然这两种改变方式是等效的，我们也可以说：这个向下的磁场是减弱的喽！向下减弱，就意味着向上增强（可以类比一辆车向前减速时，它的加速度方向是向后的）。到这里，我们发现电场环流的方向和磁场“变化方向”相反了，这也是我们在前加上一个负号的原因之一（物理学中，一般在物理量上面加点表示该量对时间求导）

           为什么说“之一”呢，其实它更本质的原因是能量守恒，我们知道，电场和磁场都具有一定的能量，所以“磁生电”的本质其实是磁场的能量转化为电场的能量。现在我用一个时变磁场感生出一个时变电场，而这个电场其实也能感生出一个新的时变磁场…要是一直这样感生下去，如果场强是越变越大的话，总有一天能量会达到的，这样不就违背了能量守恒定律，能造出永动机了吗？而这个负号则避免了这种情况，它是楞次定律的体现（其实就是电磁学中的能量守恒）：电场与磁场变化方向增强方向相反，这才是加负号的更深层原因。

         至此，我们已经介绍了麦克斯韦方程组中对人类影响最大的电磁感应定律，它反映了电磁场之间的转化关系：电场环流的曲线积分等于曲线所围曲面的磁通量对时间的一阶导数，一句话就是面积不变时，磁场变化得越快，感生出来的电场越强，这其实是挺符合人的直觉的，在后面，我们也可以将其写成的形式，下篇文章介绍完这种形式后，大家就会不禁感慨这么写的简洁了…言归正传，我们现在已经知道了变化的磁场能感生出电场，那么，变化的电场能不能感生出磁场呢？答案是肯定的。

                    3.安培环路定理

        在前面，我们已经介绍了麦克斯韦方程组中的三个方程，分别阐明了静电、静磁、磁生电的物理规律，那么我们可以立马猜出第四个方程的内容---电生磁，也就是麦克斯韦方程组中的第四个方程---安培环路定理。

          安培环路定理最早是长这样的：

                                                         

        一看右边那个东西，可能有人会说：这不是毕奥-萨伐尔定律的表达式吗，这并不是麦克斯韦的产物，那为什么这个式子会出现在麦克斯韦方程组里面呢？

        别急，我们先看看上面那个安培环路定理，式子的左边是磁场环流的曲线积分，类比一下电场环流的曲线积分很好理解，再来看式子的右边，那个μ0叫做真空磁导率，是一个联系磁场强度H和磁感应强度B的一个与磁介质有关的物理量，它们的关系为，我们只要知道它是一个与磁有关的物理量就行啦！而I表示曲面内包含电流的强度，那么，安培环路定理可以这样表述：感应电场环流的曲线积分正比于曲面内包含的电流强度，举个例子，我们在一条铜导线加上电流I，学过初中物理的同学应该都知道这个电流会感生出环绕电流的磁场，可以想象，这一圈一圈磁感线会围成一个将导线（电流）包在中心的曲面，这些由磁感线围成的同心圆就是我们要的电场环流的积分路径，这个电流I便是曲面内包含的电流（如说一席话），这个式子建立的便是这个积分值与上面包含电流之间的数学关系

          这样就完了么？当然不是，照这么玩下去就不关麦克斯韦什么事了。

          首先我们可以找一个诡异的电路：用两个金属片分别粘上导线，保持两块金属板平行并拉出一段距离，然后在两条导线分别接在电源的两端。这个装置其实是一个平行板电容器，它可以起到储存电荷（充电）的作用，两个金属片叫做极板，在充电的过程中，极板间的电场强度会发生变化。

           在充电的至充满过程中，我们任取一个时刻，因为这时电容器是没有充满的，所以这时候，电容器一端与电源正极相连的导线上应该是有电流的，这时，这个电流会感生出一个磁场，用上面的安培环路定理是没有问题的。

           问题来了，当我们把曲面边界取在极板之间，或直接把整个电容器包络进了这个曲面，如果我们在这种情况下运用安培环路定理时，会发现通过曲面的电流强度为0（极板间是没有电流的），所以用安培环路定理求解出的磁场环流（的积分）也是0，但是，我们又不是傻子，我们明明是知道这个磁场环流的积分是不可能为0的啊！

          这说明了什么？难道安培环路定理错了吗？

          我们来仔细分析一下这个充电过程中的物理量：电流I、磁感应强度B、极板间的电场强度E…等等，电场强度E在这个过程中是变化的啊，充电过程中，通过上面那种曲面的包含电流虽然为零，但曲面电通量是会发生变化的啊！

         既然变化的磁场能产生电场，那变化的电场有什么理由说：“我做不到，我不能产生磁场”呢？

        于是乎，当时的顶级物理学家麦克斯韦半凭直觉创造性地往安培环路定理中加了一个修正项，被加上这个修正项后的安培环路定理被拿来用时，并没有出什么幺蛾子，这个新方程便被麦克斯韦保留了下来，正式在麦克斯韦方程组这个大家庭中安家落户，修正后的安培环路定理长这个样子：

                                     

         右边的式子看上去长的一批，但这个修正项用人话说就是真空介电常数ε0与通过曲面电通量对时间的导数之积而已，和电磁感应定律中的右边那项是差不多的，其实它们的本质都是电场与磁场的相互转化，只不过在磁这里，恒定的电流也能产生磁场

         看了这么多冗长的公式，恐怕换做任何人都会头昏脑胀吧，其实安培环路定理也可以写成这样：

                                              

         看到这里，大家可能都会好奇这个“▽”是何方神圣，很多已经见过麦克斯韦方程但并不了解它的读者可能也记得有一个这样的符号，为什么在“▽”的加持下，麦克斯韦方程组就能简化至极致呢，这就要我们从另一个视角来审视这四个方程了，这种神奇的简化方式将在下一篇文章中进行介绍，在此之前，我们先来一睹麦克斯韦方程组（偏微分形式）的真容吧！

     1.高斯电场定律：                     

     2.高斯磁场定律：                      

     3.法拉第定律：                          

     4.安培环路定理：