【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep106】Bolzano-Cauchy判别法

今天介绍类似于数列极限中学习到的柯西准则的Bolzano-Cauchy判别法的证明。

58Bolzano-Cauchy判别法

证明x趋向于有限值a的情形——

a.必要性

1. x趋向于a时，lim f（x）=A，即对任意ε>0，存在δ>0，当0<|x-a|<δ，|f（x）-A|<ε/2；

2. 对0<|x'-a|<δ，|f（x'）-A|=|A-f（x'）|<ε/2；

3. 由1、2，对任意ε>0，存在δ>0，当0<|x-a|<δ，0<|x'-a|<δ，

   |f（x）-f（x'）|=|f（x）-A+A-f（x'）|<=|f（x）-A|+|A-f（x'）|<ε，证毕。

b.充分性 

存在性——

1. 已知，对任意ε>0，存在δ>0，当0<|x-a|<δ，0<|x'-a|<δ，|f（x）-f（x'）|<ε；

2. {xn}是任意收敛于a的数列，则对δ>0，存在N，当n，n'>N时，0<|xn-a|<δ，0<|xn'-a|<δ；

3. 由1，2，|f（xn）-f（xn'）|<ε，由柯西准则，数列{f（xn）}有极限A。

唯一性——

1. {yn}是另一个收敛于a的数列，同理，数列{f（yn）}有极限B；

2. 将{xn}，{yn}的元素交替排列成数列{zn}：x1，y1，x2，y2，……xN，yN，xN+1，yN+1，……，显然，数列{zn}也是一个收敛于a的数列，则数列{f（zn）}有极限C，数列极限具有唯一性，{xn}，{yn}都是数列{zn}}的子列，则lim f（x）=A=B=C。

到这里！