连续、偏导数和方向导数都存在但不可微的函数

粗略来说，“可微性”≈“∃切空间”——从几何的角度来看即存在一个切平面。但是，分析学中还跟了一个“小尾巴”，即函数的变量Δf与其微分df之间相差一个高阶无穷小o(|dr|)，注意是高阶无穷小、而非无穷小o(1)。

在上面的要求下，切平面由偏导数完全决定、即“可微性”⇒“偏导数存在”，但是“偏导数存在”⇏“可微性”。在这个例子中(0,0)处的df=0、|Δf|的增长上界与|dr|同阶，它的偏导数在(0,0)处附近是发散的，而之所以f'(0,0)存在是因为补充了f(0,0)的定义。

可以证明“偏导数连续”⇒“可微性”。由于导函数具有介值性、且只有第二类间断点(Darboux定理)，故偏导数存在但不可微的点只能是孤立点，可以称为“奇点”。另一方面，“可微性”⇏“偏导数连续”。在下面的例子中，可微函数f(x,y)=r²被作用了一个有界因子sin(r⁻²)、且补充了f(0,0)的定义，故不影响其可微性；但是sin(r⁻²)在(0,0)处却是“震荡”的，从而破坏了偏导数的连续性。

总结：“∃偏导数”≈“可微性”，两者的差异仅体现在某些孤立的“奇点”处，此处的偏导数不连续、而可微性不确定。不过，微分的“邻域性”无法反映孤立奇点附近的性质，即可微性在奇点处不是一个“好”的性质。

注：Jacobian的张量记号请参考https://zhuanlan.zhihu.com/p/488260717