郑涛（Tao Steven Zheng） 著

【问题】

科布-道格拉斯生产函数（Cobb-Douglas production function）是美国经济学家保罗·道格拉斯（Paul Douglas, 1892-1976）和数学家查尔斯·科布（Charles Cobb, 1875-1949）在1927年提出的一种计量经济学模型。他们将总产量建模为劳动力（labour） 和资本投资 （capital investment） 的函数：

其中 。

如果预算约束方程（budget constraint equation）为 ，其中 是劳动力和资本的单位成本（unit cost of labour and capital）。求使生产实现最大化的劳动力和资本投资价值（数值）。

【题解】

这个问题需要使用拉格朗日乘数法（Lagrange multipliers）。考虑以下函数：

计算出偏导数，然后写下成列方程式 ：

这里 是指

所以，

利用以上两个方程式来求解 ，得

因此，

把 代入预算约束方程来解 。然后使用新发现的 数值解算 。

因此，最大化生产集解是