帕普斯定理

帕普斯定理，这里专指物理学中关于确定物体质心的定理，在百度百科中给出了这样的定义：

1、若平面曲线C，绕直线L旋转(C和L共面且C在L的一侧)，则所得旋转曲面的面积S，等于母曲线C的长度，与C的重心在旋转过程中所走路程的长度的乘积；

2、若部分平面A绕同一平面内的一条直线旋转(此直线至多只能为A共边界点)，则所得旋转体的体积V，等于A的面积，与A的重心在旋转过程中所走路程长度的乘积。

这个定理的证明并不复杂，我们以第二个为例（平面形式）来给出证明：

我们假设平面区域面积存在，假设为单连通区域（若为复连通区域可通过有限条割线分割成单连通区域讨论），记其旋转轴为x轴如图

因为是均匀分布的我们考虑重心公式中的纵坐标，即

其中A为平面区域的面积，为面积微元

又由我们给出的条件，则有：

另一方面，旋转体的体积为

综上，有质心运动距离C与旋转体体积V的关系：

于是帕普斯定理证毕！