幂级数展开||数理方法

2021-01-23 16:01 作者:湮灭的末影狐 0人读过 | 我要投稿

//仍然是以一个物理新手的角度，更多关注概念与应用，对于严格的证明我也无法非常准确描述，所以还是尽量做到严谨。

//开始吧

3.1 复数项级数

设有复数项无穷级数

$%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20w_k%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20u_k%2B%5Cmathrm%20i%20%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20v_k%5C%3B(u_k%2Cv_k%20%5Cin%20%5Cmathbb%20R)$

其收敛性的问题可以归结为两个实数项级数的收敛性问题。类比高数中相关理论，有柯西收敛判据：这一级数收敛的充要条件是 $%5Cforall%5Cepsilon%3E0%2C%20p%20%5Cin%20%5Cmathbb%20N%5E%2B%2C%20%5Cexists%20N%3E0$ ，使得

$n%3EN%20%5CRightarrow%20%5Cleft%7C%5Csum_%7Bk%3D%20n%7D%5E%7Bn%2Bp%7Dw_k%5Cright%7C%3C%5Cepsilon$

而如果级数

$%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20%7Cw_k%7C$

收敛，则称前面的复数项级数绝对收敛。绝对收敛则必收敛。

接下来讨论函数项级数：

$%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20w_k(z)%3Dw_0(z)%2Bw_1(z)%2B...%2Bw_k(z)%2B...$

若在区域 $B$ (或曲线 $l$ )上每一点该级数都收敛，则该函数项级数收敛。如果对每一点运用前述柯西收敛判据，存在与该点无关的 $N$ 满足判据，则称为一致收敛。

虽然自从我见到一致收敛这个概念以来从来就不知道它有什么数学以外的用途，但是按照这个定义我觉得它的意思大概是对这个区域的所有点，级数收敛速度是"一致"的。

和一致收敛的相关性质，这里直接放教材截图↓

3.2 幂级数

幂级数形如下式，各项都是幂函数：

$%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20a_k(z-z_0)%5Ek%20%5C%3B(*)$

另考虑将(*)各项取模得到正项级数：

$%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20%7Ca_k%7C%7Cz-z_0%7C%5Ek%20%5C%3B(%5C%23)$

运用比值判别法，如果级数(#)满足极限 $%5Clim%20_%7Bk%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%5Cleft%7C%5Cfrac%7Ba_%7Bk%7D%7D%7Ba_%7Bk%2B1%7D%7D%5Cright%7C$ 存在，且

$%5Clim%20_%7Bk%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%5Cleft%7Ca_%7Bk%2B1%7D%5Cright%7C%5Cleft%7Cz-z_%7B0%7D%5Cright%7C%5E%7Bk%2B1%7D%7D%7B%5Cleft%7Ca_%7Bk%7D%5Cright%7C%5Cleft%7Cz-z_%7B0%7D%5Cright%7C%5E%7Bk%7D%7D%3D%5Clim%20_%7Bk%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%5Cleft%7C%5Cfrac%7Ba_%7Bk%2B1%7D%7D%7Ba_%7Bk%7D%7D%5Cright%7C%5Cleft%7Cz-z_%7B0%7D%5Cright%7C%3C1$

则级数(#)收敛，(*)绝对收敛。如果定义

$R%3D%5Clim%20_%7Bk%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%5Cleft%7C%5Cfrac%7Ba_%7Bk%7D%7D%7Ba_%7Bk%2B1%7D%7D%5Cright%7C$

则可以考虑一些几种情况：

$%7Cz-z_0%7C%3CR$ ，则(*)绝对收敛；

$%7Cz-z_0%7C%3ER$ ，则(*)发散；

如果取等，需要根据实际情况分析，可能收敛，可能发散。

称复平面上 $z_0$ 为圆心， $R$ 为半径的圆为幂级数的收敛圆， $R$ 为收敛半径。

如果应用根值判别法，则

$R%3D%5Clim%20_%7Bk%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%5Cfrac1%7B%5Csqrt%5Bk%5D%7B%7Ca_k%7C%7D%7D$

也是收敛半径的等价表达式。

关于这一节，我有一点想法...

① 如果极限 $%5Clim%20_%7Bk%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%5Cleft%7Ca_k%2Fa_%7Bk%2B1%7D%5Cright%7C$ 存在，就可以用以上方法求得收敛半径；如果这个极限不存在，收敛与否又如何判断？

② 如果真的 $%7Cz-z_0%7C%3DR$ ，说明相当远处级数各项模长趋于相等...那么如果在满足前面极限的条件下，各项的辐角可以任意取，...是不是有点像随机游走？(新手的胡思乱想)

接下来的这一段让我感到有一点迷惑...

看上去是借助柯西公式绕了一圈，证明了幂级数的和在收敛圆内是解析函数？暂时没看懂为什么要这么做，但愿期末不会考这种东西...

3.3 泰勒级数

设 $f(z)$ 在 $z_0$ 为圆心的圆 $C_R$ 内解析，则对于圆内任意z点可展开为幂级数：

$f(z)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20a_k(z-z_0)%5Ek%20$

其中

$a_k%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%20%5Cmathrm%20i%7D%5Coint_%7BC_%7BR_1%7D%7D%5Cfrac%7Bf(%5Czeta)%7D%7B(%5Czeta-z_0)%5E%7Bk%2B1%7D%7D%5Cmathrm%20d%20%5Czeta%20%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7B(k)%7D(z_0)%7D%7Bk!%7D$

也就是说，其实复变函数的泰勒级数形式和实变函数是一样的。

$f(z)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7Bf%5E%7B(k)%7D%5Cleft(z_%7B0%7D%5Cright)%7D%7Bk%20!%7D%5Cleft(z-z_%7B0%7D%5Cright)%5E%7Bk%7D%20%5Cquad%5Cleft(%5Cleft%7Cz-z_%7B0%7D%5Cright%7C%3CR%5Cright)$

称为函数的泰勒展开，泰勒展开是唯一的。

3.4 解析延拓

考虑幂级数：

$w%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20z%5Ek%3D%5Cfrac1%7B1-z%7D%5C%3B(%7Cz%7C%3C1)$

该级数只在单位圆内部收敛。但 $f(z)%3D1%2F(1-z)$ 是除孤立奇点 $z%3D1$ 外全平面的解析函数。此时称 $f(z)$ 为 $w(z)$ 的解析延拓。

解析延拓是唯一的。

3.5 洛朗级数

洛朗级数主要用来处理在某个圆环解析，但在小圆内部存在奇点的函数。考虑双边幂级数：

$%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_k(z-z_0)%5Ek%5C%5C%3D...%2Ba_%7B-2%7D(z-z_0)%5E%7B-2%7D%2Ba_%7B-1%7D(z-z_0)%5E%7B-1%7D%2Ba_0%2Ba_1(z-z_0)%2Ba_%7B2%7D(z-z_0)%5E%7B2%7D%2B...$

正幂部分(右半部分)有收敛半径

$R_1%3D%5Clim%20_%7Bk%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%5Cleft%7C%5Cfrac%7Ba_%7Bk%7D%7D%7Ba_%7Bk%2B1%7D%7D%5Cright%7C$

类似地，左半部分有

$R_2%3D%5Clim_%7Bk%5Crightarrow-%5Cinfty%7D%20%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7Ba_k%7D%7Ba_%7Bk%2B1%7D%7D%20%5Cright%7C$

只有 $%7Cz-z_0%7C%3ER_2$ 才使左半部分收敛。所以当 $R_1%3ER_2$ 时，该级数在以 $z_0$ 为圆心的圆环域内绝对且一致收敛。

若 $f(z)$ 在前述圆环域解析，则可以展开为洛朗级数：

$f(z)%3D%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty%7D%5E%5Cinfty%20a_k(z-z_0)%5Ek%20$

其中，

$a_k%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%20%5Cmathrm%20i%7D%5Coint_%7Bl%7D%5Cfrac%7Bf(%5Czeta)%7D%7B(%5Czeta-z_0)%5E%7Bk%2B1%7D%7D%5Cmathrm%20d%20%5Czeta$

积分路径是任意逆时针绕环域一圈的回路。

与泰勒级数的对比：洛朗级数多出了负幂项。而二者正幂项系数写成回路积分的形式是相同的，但泰勒级数还可以写成 $a_k%20%3Df%5E%7B(k)%7D(z_0)%2Fk!$ ，洛朗级数不能，因为只有当圆环的小圆内部有奇点时我们才会使用洛朗级数，否则洛朗级数和泰勒级数将完全一样。

3.6 孤立奇点的分类

前面多次提到奇点，这是指复变函数在这一点不可导。而孤立奇点指函数在这一点不可导，在该点某去心邻域处处可导。

显然，函数可以在孤立奇点附近展开成洛朗级数。

$f(z)%3D%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty%7D%5E%5Cinfty%20a_k(z-z_0)%5Ek%20$

根据展开结果，我们可以分以下几类：

① 可去奇点： $%5Cforall%20k%3C0%2C%5C%3Ba_k%20%3D0$ .

此时有 $%5Clim_%7Bz%20%5Crightarrow%20z_0%7Df(z)%3Da_0$ ，函数仅在这一点无定义，如果将函数在这一点定义为 $a_0$ ，则函数将在这一点解析，所以称为“可去”。可去奇点今后不作为奇点看待。

例如， $z%3D0$ 是 $%5Cfrac%7B%5Csin%20z%7D%7Bz%7D%5C%3B%5Cleft(%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20%5Cfrac%7B(-1)%5Ekx%5E%7B2k%7D%7D%7B(2k%2B1)!%7D%5Cright)$ 的可去奇点。