【数学基础141】常微分方程：史济怀老师视频微分方程相关内容总结（十）

史济怀老师视频课微分方程部分——

&3.二阶线性微分方程的一般理论

&3.1二阶齐次 线性方程解的结构

Liouville定理：设y1，y2是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0在（a，b）两个解，那么对x0∈（a，b），

对每个x∈（a，b）成立。

证：

step1：获得目标式子——

1. y1，y2是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0在（a，b）两个解，即

1. y1''+p(x)y1'+q(x)y1=0

2. y2''+p(x)y2'+q(x)y2=0

2. Wronsky行列式：w(x)=y1(x)y2(x)'-y2(x)y1(x)'，则

   w'(x)

   =y1(x)y2(x)''+y1(x)'y2(x)'-y1(x)'y2(x)'-y2(x)y1(x)''

   =y1(x)y2(x)''-y2(x)y1(x)''

   =-y1(x)[p(x)y2(x)'+q(x)y2(x)]+y2(x)[p(x)y1(x)'+q(x)y1(x)]

   =p(x)[y1(x)'y2(x)-y1(x)y2(x)']

   =-p(x)w(x)，

   即dw(x)/dx=-p(x)w(x)，则dw(x)/w(x)=-p(x)dx；

3. 两边求积分：

        若w(x0)=0，则任意x∈（a，b），w(x)=0。

step2：求证w(x)一处不为零，则处处不为0——

1. 若w(x0)>0，假如存在x1∈（a，b），w(x1)<0，由微分中值定理：

   存在ξ∈（a，b），w(ξ)=0；

2. 易得

        与w(ξ)=0矛盾，故而对任意x∈（a，b），w(x)>0；

   3.同理，如果若w(x0)<0，则对任意x∈（a，b），w(x)<0。