【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教中学甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第六章比和比例 

§6-8成反比例的量

【01】在算术里，我们也学习过成反比例的量。现在来复习一下。

【02】成反比例的量：两种相关联的量，在其他条件不变时，如果其中的一种量扩大几倍，另一种量反而缩小相同的倍数，一种量缩小几倍，另一种量反而扩大相同的倍数，那么这两种量就叫做成反比例，它们之间的关系叫做反比例关系。

例1.为从甲地到乙地，一车以平均速度每小时 12 公里行驶，4 小时到达。如果第二车以平均速度每小时 24 公里行驶，要几小时到达？如果第三车要在1小时内到达，平均速度应该多少？

【解】这里有两种相关联的量，一种是速度，另一种是时间。这里有一个不变的条件，就是甲地到乙地的距离。我们现在把三辆车子的两种量的数值，列表如下（要求的未知量，分别用字母 x 与 y 来表示）：

        同一车的两种量的数值，叫做一组对应的值，如 12 和 4，24 和 x， y 和 1，都是对应值。
        我们知道，如果距离不变，那么速度和时间这两种量是成反比例的量，即第一种量扩大或缩小几倍，第二种量反而缩小或扩大同样的倍数。
        (1) 拿速度来说，第二车对第一车扩大的倍数是 24:12  。拿时间来说，第二车对第一车缩小的倍数是 4:x  。 因为倍数相等，得比例 24:12＝4:x  。
        解比例， 24x＝12×4，x＝12×4÷24＝2  。
答： 第二车 2 小时可到。
        (2) 拿速度来说，第三车对第一车扩大的倍数是 y:12  。拿时间来说，第三车对第一车缩小的倍数是 4:1  。因为倍数相等，得比例 y:12＝4:1  。
        解比例， y＝12×4，y=48  。
答： 第三车的速度应该是每小时 48 公里。
【注意】在判定成反比例的量时，必须注意两点：
        (1) 其他条件不变。如这里的路程相同。
        (2) 倍数相同。如果只知道一种量扩大时另一种量缩小，而倍数不同，那末这两种量就不能说是成反比例的量。
【03】因为两个同类的量的倍数就是它们的比，所以我们对成反比例的量，也可以作这样的叙述：

【04】两种相关联的量，在其他条件不变的时候，如果一种量的任意两个数值的比总等于另一种量的两个对应的数值的比的反比，那么这两种量就叫做成反比例的量。

【05】如果我们把一种量的一些数值用字母 a₁，a₂，a₃，…来表示，把另一种量的对应的数值用字母 b₁，b₂，b₃，…来表示，如下表：

【06】那么如果这两种量成反比例关系，就有比例：a₁:a₂＝b₂:b₁，a₁:a₃＝b₃:b₁，…。

【07】现在我们再来看这些量里有负值时的情况。

例2.在东西向的公路上，甲车站在乙车站的东面。有四车在正午同时经过乙站。第一车以平均速度每小时 12 公里向东 3 小时后到达甲站。如第二车以平均速度每小时 24 公里向东，什么时候到达甲站？如第三车以平均速度每小时 18 公里向西，什么时候经过甲站？如第四车在 1 小时前经过甲站，它的速度和方向怎样？

【解】我们把向东方向作为正方向，那末速度向东是正的，向西是负的，时间方面，拿以后几小时作为正，拿以前几小时作为负.把这四车的速度和时间，列表如下（未知的量分别用字母 x，y，z 表示）：

        我们知道，甲乙两站的距离不变，速度和时间这两种量是成反比例的量，即一种量的两个数值的比与另一种量的对应值的比的反比相等。得比例：(1) 12:24＝x:3，(2) 12:(－18)＝y:3，(3) 12:8＝(－1):3  。

        解这些比例

        (1) 24x＝3×12，x＝3×12÷24＝ ；

        (2)－18y＝3×12，y＝3×12÷(－18)＝－2；

        (3)－1z＝3×12，z＝3×12÷(－1)＝－36  。

答：第一车在12小时后到达甲站，第三车在2小时前过甲站，第四车的速度是平均每小时36公里向西。

习题6-8

1、某建筑工地原采用 4 辆汽车运土，每天运 56 立方米，如果要每天运 98 立方米，要用同样的汽车几辆？

2、某生产队要收割 750 亩小麦，3 天收割了 450 亩，照这样的速度，其余的还要几天可以收割完？

3、一本文艺书，平均每天读 20 页，15 天读完，如果每天平均读 12 页，几天可以读完？

4、一列火车 3 小时行路 150 公里。有一段路程，这列火车行了 4 小时，假定速度不变，这段路程有多少公里？

5、一列火车每小时平均行 50 公里，有一段路程，火车行驶 36 分钟。如果另一列火车在这段路上行了 40 分钟，第二列火车的平均速度每小时多少公里？

6、一列火车在 a 小时内行路 b 公里，如果这列火车速度不变，在 c 小时内行路多少公里？（答数用 a,b,c 的代数式来表示）

7、如果汽车从甲地到乙地以每小时 a 公里的速度行驶 b 小时，回来时要在 c 小时内赶回，需用怎样的速度？

8、汽车从甲地到乙地以每小时 a 公里的速度行驶 b 小时，回来时速度较去时增加 20%，回来时共需多少时间？

9、下面表内是两个量的一些对应的数值，根据这些数值来判断，它们是不是成正比例：

10、下面表内列出了两个量的一些对应的数值，根据这些数值来判断，它们是不是成反比例：

11、a 和 b 是两种成正比例的量，求下表中未知量的值：

12、a 和 b 是两种成反比例的量，求下表中未知量的值：

13、x 和 y 是两种成正比例的量，求下表中的未知量：

14、x 和 y 是两种成反比例的量，求下表中的未知量：

【答案】